Bilans macroscopiques –

1 – Échangeur thermique à contre-courant

1. À l’aide du premier principe de la thermodynamique, établir un lien entre ces deux puissances, [latex]D[/latex] et les enthalpies massiques du fluide en entrée et en sortie.
   • Il s’agit de la démonstration du PPI du cours, avec quelques hypothèses qui simplifient un peu les calculs.
   • Le PPI ainsi obtenu doit être multiplié par le débit massique pour faire apparaitre les puissance demandées.
2. En raisonnant de même, calculer [latex]\theta_2[/latex].
   • Donner un nom à la puissance allant du gaz vers le fluide.
   • Appliquer le PPI en termes de puissances d’une part au gaz et d’autre part au fluides.
   • Utiliser la seconde loi de Joule.
3. En faisant un bilan d’entropie sur un système fermé bien choisi, exprimer le taux de création d’entropie [latex]\frac{\delta S_C}{dt}[/latex] en fonction de la différence d’entropie massique entre la sortie et l’entrée pour l’eau [latex]s_{2,e}-s_{1,e}[/latex] et de gaz [latex]s_{2,g}-s_{1,g}[/latex] et des débits massiques.
   • Il s’agit de démontrer le second principe de la thermodynamique pour un système ouvert en écoulement stationnaire (démo du cours).
   • Par quoi doit on multiplier l’équation pour faire apparaitre une puissance.
4. En utilisant l’identité thermodynamique sur [latex]H(P,S)[/latex], montrer que [latex]s_{2,e}-s_{1,e}=c\ln\frac{\theta_2}{\theta_1}[/latex] et que [latex]s_{2,g}-s_{1,g}=\frac{\gamma R}{M(\gamma-1)}\ln\frac{T_2}{T_1}[/latex] calculer leur valeur.
   • Écrire l’identité thermodynamique sur [latex]H(P,S)[/latex] puis la seconde loi de Joule.
   • Exprimer la variation d’entropie massique en fonction de la capacité thermique massique et de la température.
   • Pour un gaz parfait, comment la capacité thermique massique à pression constant s’exprime-t-elle en fonction du coefficient de Laplace ?
5. Quel est le signe de [latex]\frac{\delta S_C}{dt}[/latex] ? Est-ce conforme avec le second principe de la thermodynamique ?

2 – Vidange d’une cuve

1. Un agriculteur souhaite vidanger une cuve cubique d’un mètre cube remplie d’eau par un robinet situé en bas. Combien de temps doit-il prévoir ? Des hypothèses raisonnables peuvent être faites, à condition qu’elles soient explicitées.
   • En supposant l’écoulement parfait, stationnaire, incompressible et homogène, établir l’expression de la vitesse au niveau de la vanne.
   • Relier le débit volumique à la vitesse de l’écoulement au niveau de la vanne.
   • Relier le volume d’eau dans la cuve à la hauteur d’eau.
   • Formuler une équation différentielle sur la hauteur ou le volume d’eau puis l’intégrer.
   • L’équation différentielle peut être intégrée entre l’état initial et l’état final par séparation des variables.
   • [latex]2\sqrt(c)[/latex] est une primitive de [latex]\frac{1}{\sqrt(x)}[/latex]
   • Estimer la section de la vanne à partir de la photo.

3 – Fonctionnement d’une hélice

1. En utilisant le théorème de Bernoulli, exprimer la pression [latex]P[/latex] en fonction de [latex]P_a[/latex], [latex]\rho[/latex], [latex]v_1[/latex] et [latex]v[/latex]. Faire de même pour [latex]P'[/latex] en fonction de [latex]P_a[/latex], [latex]\rho[/latex], [latex]v_2[/latex] et [latex]v'[/latex].
2. On note [latex]\vec{F}[/latex] la résultante des forces exercées par l’hélice sur le fluide. Effectuer un bilan d’impulsion\footnote{Impulsion et quantité de mouvement sont synonymes.} dans le volume compris entre [latex]S[/latex] et [latex]S'[/latex] pour exprimer [latex]\vec{F}[/latex] en fonction de [latex]\rho[/latex], [latex]S[/latex], [latex]v_1[/latex] et [latex]v_2[/latex].
   • Quelles sont les trois forces s’appliquant sur le système ?
   • Les 3 forces sont les deux forces de pression et la force [latex]\vec{F}[/latex].
   • Justifier que le débit volumique se conserve. En déduire une relation entre [latex]v[/latex] et [latex]v'[/latex].
3. En effectuant un bilan d’impulsion cette fois-ci sur le volume compris entre [latex]S_1[/latex] et [latex]S_2[/latex], établir l’expression de [latex]\vec{F}[/latex] en fonction de [latex]S[/latex], [latex]\rho[/latex], [latex]v[/latex], [latex]v_1[/latex] et [latex]v_2[/latex].
   • Justifier que la résultante des forces de pression est nulle.
4. En égalisant les expressions obtenues dans les deux questions précédentes, donner une relation simple entre [latex]v[/latex], [latex]v_1[/latex] et [latex]v_2[/latex].
5. En appliquant le théorème de la puissance cinétique à un système fermé bien choisi, déterminer la puissance [latex]\mathcal{P}[/latex] fournie par l’hélice au fluide. Donner le résultat en fonction du débit massique [latex]D_m[/latex], [latex]v_1[/latex] et [latex]v_2[/latex] puis en fonction de [latex]\vec{f}[/latex] et [latex]\vec{v}[/latex].
   • Définir un système fermé à partir du système ouvert délimité par [latex]S_1[/latex] et [latex]S_2[/latex].
6. Commenter le signe de [latex]\mathcal{P}[/latex] et justifier l’allure du tube de courant représenté sur le schéma.
   • Comparer [latex]v_1[/latex] et [latex]v_2[/latex].
   • Justifier que [latex]S_2

4 РPerte de charge dans un ̩largissement brusque

1. Expliquer pourquoi la pression vaut [latex]P_1[/latex] dans la partie gauche de la zone d’eau morte, au contact de l’élargissement vertical.
   • Écrire la relation de Bernoulli entre la section gauche et l’élargissement.
   • En négligeant les effets de la gravité, comment s’écrit l’équation fondamentale de l’hydrostatique dans la zone d’eau morte.
2. Au moyen d’un bilan de quantité de mouvement sur un système fermé bien choisi, exprimer la chute de pression [latex]P_1-P_2[/latex] entre l’amont et l’aval en fonction de [latex]\mu[/latex], [latex]v_1[/latex] et des sections.
   • Représenter sur un schéma les forces de pression s’exerçant tout autour du système. Sur quelle surface s’exerce la pression [latex]P_1[/latex] ? Sur quelle surface s’exerce la pression [latex]P_2[/latex] ?
3. En déduire le coefficient de perte de charge singulière [latex]\zeta[/latex] défini par [latex]\Delta P_\text{sing}=\zeta \frac{1}{2}\mu v_1^2[/latex].

5 – Les propriétés de l’air sont-elles celles d’un gaz parfait dans les conditions ambiantes ?

1. L’air vérifie-t-il l’équation d’état d’un gaz parfait dans les conditions du tableau ?
   • A l’aide de l’équation d’état des gaz parfaits, relier [latex]P[/latex], [latex]v[/latex], [latex]R[/latex], [latex]T[/latex] et [latex]M[/latex]. Cette relation est-elle vérifiée pour les valeurs du tableau ?
2. Sur le diagramme [latex](P, h)[/latex], les isothermes sont-elles conformes aux propriétés d’un gaz parfait ? Qu’en est-il au voisinage du point [latex]A[/latex] ?
   • Que dit la seconde loi de Joule pour un gaz parfait ? Comment varie l’enthalpie pour une isotherme ?
3. Mesurer la capacité thermique massique à pression constante [latex]c_p[/latex] au voisinage du point [latex]A[/latex]. En déduire le coefficient [latex]\gamma[/latex] en adoptant le modèle du gaz parfait.
   • Au voisinage du point [latex]A[/latex], de combien varie l’enthalpie massique lorsque la température passe de [latex]\SI{0}{°C}[/latex] à [latex]\SI{20}{°C}[/latex] ?
   • On rappelle les relations de Mayer [latex]C_P-C_V=nR[/latex] et [latex]\gamma=\frac{C_P}{C_V}[/latex]. En déduire [latex]C_P[/latex] puis [latex]c_P[/latex] en fonction de [latex]\gamma[/latex].
4. En considérant l’isentropique [latex]s = \SI{4}{kJ.K^{-1}.kg^{-1}}[/latex], tracer une courbe permettant de valider ou d’invalider la relation de Laplace. La courbe pourra être tracer sur Python ou la calculatrice et devra comporter 9 points.
   • Mesurer [latex]P[/latex] et [latex]v[/latex] pour des points le long de l’isentropique.
   • En fonction de quoi doit-on tracer la pression pour obtenir une droite si la relation de Laplace est vérifiée ?
   • Tracer [latex]P[/latex] en fonction de [latex]v^{-\gamma}[/latex].
5. En conclusion, le modèle de gaz parfait pour l’air est-il bien vérifié dans les conditions ambiantes.

6 – Stockage d’un fluide diphasé : le GPL

1. Quelle pression règne-t-il dans le réservoir ? Pour un réservoir de [latex]\SI{50}{L}[/latex], quelle masse de propane est-elle stockée ? Le volume massique du liquide saturant étant égal à [latex]\SI{2e-3}{m^3.kg^{-1}}[/latex], quelle est la capacité maximale du réservoir ?
   • Le propane est en équilibre liquide/gaz. Quelle est la forme des isotherme dans le diagramme ?
   • Lire la volume massique sur la courbe.
2. Le réservoir est éprouvé pour résister à une pression de [latex]\SI{30}{bar}[/latex]. En cas d’incendie ou d’échauffement accidentel, à quelle température y a-t-il risque d’explosion ?
   • Qu’est-ce qui reste constant lorsque le réservoir chauffe ? Sur quelle courbe se déplace-t-on ?
   • La masse de propane et le volume du réservoir restent constants.
   • Que vaut la température lorsque l’isochore concernée rencontre la pression [latex]\SI{30}{bar}[/latex] ?
3. Depuis 2001, les réservoirs GPL sont munis d’une soupape permettant d’évacuer le fluide dès que la pression dépasse [latex]\SI{25}{bar}[/latex]. Expliquer l’intérêt de cette soupape.
4. Entre la sortie du réservoir et les injecteurs du moteur, le GPL circule dans un vapo-détendeur où il subit une détente isenthalpique. Comment évoluent la température et la composition du mélange liquide-vapeur ?