Méthodes numériques : Résolution numérique d’équations différentielles

Exercice 1

1. • Transformer les deux fonctions de transfert en équations différentielles dans le domaine temporel.
   • Multiplier par et simplifier les fractions de sorte à ne plus avoir au dénominateur.
   • A partir de , on peut obtenir . A partir de , on peut obtenir .
2. • On peut décomposer les éléments de Y par Y[0], Y[1] et Y[2].
   • Utiliser les résultats de la question précédente pour écrire la fonction F.
3. • Dans quelle plage de valeurs sont les résistances utilisées en TP ?
   • Quelle est la condition de démarrage des oscillations vue en cours ?
5. • Quelle relation relie la période des oscillations à et lorsque la condition d’existante d’oscillations sinusoïdale est satisfaite ?
6. • solution.y[0] correspond à et solution.y[1] à .
7. • Changer les valeurs de et et lancer la simulation. Vérifier que des oscillations apparaissent seulement si la condition de démarrage des oscillations vue en cours est vérifiée.
8. • Il faut que la condition d’oscillation soit satisfaite.
   • Mesurer la période des oscillations sur le graphe. Est-ce compatible avec la pulsation vue en cours ?
9. • Utiliser la définition de puis la relation de Taylor à l’ordre 1.

Exercice 2

1. • Quelle relation relie le pas spatial , la longueur de la barre et le nombre de points spatial ?
2. • Quelle relation relie le pas temporel , la durée totale de la simulation et le nombre de pas temporels ?
   • La fonction np.zeros((a,b)) permet de créer une matrice de a lignes et b colonnes initialisée à zéro.
3. • À quel endroit de la matrice correspond la température initiale de la barre ?
   • On peut utiliser le “slicing” de Python pour sélectionner des sous-parties d’une matrice : T[i,:] sélectionne la i-ième ligne de T.
4. • À quel endroit de la matrice correspondent l’abscisse ? et l’abscisse ?
   • On peut utiliser le “slicing” de Python pour sélectionner des sous-parties d’une matrice : T[:,j] sélectionne la j-ième colonne de T.
5. • La démonstration a été vue en cours.
7. • Où dans la matrice T se trouve le profil de température à instants ?
   • Pour générer les abscisses de la courbe, on peut utiliser la fonction np.linspace(a,b,n) pour créer un tableau de n valeurs régulièrement espacées entre a et b.
8. • Où dans la matrice T se trouve le profil de température à l’abscisse ?
   • Pour générer les abscisses de la courbe, on peut utiliser la fonction np.linspace(a,b,n) pour créer un tableau de n valeurs régulièrement espacées entre a et b.