Physique des ondes 2 : Phénomènes de propagation linéaires : absorption et dispersion

Exercice 1

Exercice 2

1. • Reprendre la démonstration de l’équation de d’Alembert du cours en rajoutant la force de frottement fluides.
2. • Introduire la forme proposée dans l’équation d’onde et séparer les variables.
3. • L’équation différentielle sur possède trois familles de solution. Parmi ces familles, quelle est la seule qui admet des solutions non nulles compatibles avec les conditions aux limites ?
4. • Compte tenu de l’hypothèse de frottements faibles, quel est le signe du discriminent de l’équation différentielle sur ?
5. • La durée caractéristique d’amortissement apparait dans l’exponentielle.

Exercice 3

1. • Appliquer la loi de nœuds.
2. • Appliquer la loi des mailles.
3. • Il faut combiner les équations des question précédentes.
   • Dériver l’équation de la question 1 par rapport à et celle de la question 2 par rapport à . Appliquer le théorème de Schwarz.
4. • Passer en complexe l’équation d’onde de la question précédente.
6. • Dans l’hypothèse de l’énoncé, que peut-on dire sur et ?
   • Développer . Quel terme peut être négligé dans l’hypothèse de l’énoncé ?

Exercice 4

1. • Reprendre le PDF sur une particule de fluide du cours, en ajoutant cette fois ci la force de viscosité.
   • L’énoncé précise que l’onde se propage selon . Simplifier les opérateurs vectoriels dans ce cas.
2. • L’équation thermodynamique et l’équation locale de conservation de la masse restent inchangées.
   • Dériver l’équation locale de conservation de la masse d’une part par rapport à et d’autre part par rapport à afin d’éliminer les de l’équation de la question 1.
3. • Passer en complexes l’équation d’onde.
   • Simplifier l’équation de dispersion compte tenu de l’hypothèse pour obtenir .
   • Quelle relation relie l’épaisseur de peau avec le nombre d’onde complexe ?
4. • Après avoir parcourue une distance égale à l’épaisseur de peau, par combien est divisée l’amplitude de l’onde ?
   • À part l’absorption, quel autre phénomène peut être responsable de l’atténuation de l’amplitude d’une onde ?

Exercice 5

2. • Considérons les valeurs (0,2,4). Combien y a-t-il de valeurs ? Quel pas sépare deux valeurs successives ? Quelle est l’étendue totale entre la première et la dernière valeur ? Quel lien relie le pas, l’étendue et le nombre de valeurs ?
3. • Appliquer la formule de Taylor à l’ordre 2 à et .
   • Combiner les deux relations de Taylor pour exprimer .
   • Si les indices ne correspondent pas à ce que l’on cherche, faire un changement d’indice pour trouver la relation demandée.
4. • La température à la surface est contenue dans la variable Tz0.
5. • Quel indice correspond à la profondeur de ? De ? De ?
   • On peut utiliser la notation T[:,j] pour accéder à toutes les lignes d’une colonne j et T[i,:] pour accéder à toutes les colonnes d’une ligne i.
6. • On peut commencer par écrire des instructions pour détecter s’il gène pour une profondeur .
   • On parcourt une colonne de T. Si tous les éléments sont positifs, alors il ne gèle jamais à cette profondeur. Sinon, il gèle au moins une fois à cette profondeur.

Exercice 6

Exercice 7

5. • Comment s’écrit de manière générale une OPPH ?