Phénomènes de transport 4 : Fluide en écoulement

Exercice 1

1. • Relier la masse volumique à la pression grâce à l’équation d’état des gaz parfaits.
   • Résoudre l’équation fondamentale de l’hydrostatique.
2. • On considère un cylindre de section et de hauteur . Exprimer la masse contenue dans ce cylindre comme une intégrale.
   • On souhaite montrer que la masse contenue dans un cylindre de hauteur est égale à de la masse contenue dans un cylindre de hauteur infinie.
4. • Utiliser la loi de Laplace et l’équation d’état des gaz parfaits.
5. • Exprimer en fonction de et différentier l’expression obtenue.
6. • Utiliser la question précédente et l’équation fondamentale de l’hydrostatique.

Exercice 2

1. • Calculer la composante normale de la réaction puis utiliser la loi de Coulomb.
   • Projeter le théorème de la résultante cinétique sur l’axe verticale pour relier la réaction normale au poids.
2. • Résoudre la projection sur l’axe horizontal du théorème de la résultante cinétique.
   • Quel est le temps d’arrêt, c’est-à-dire le temps auquel la vitesse est nulle.
   • La distance d’arrêt correspond à la position du solide au temps d’arrêt.
4. • Utiliser un argument d’invariance.
   • Que signifie l’expression de l’énoncé “on néglige les effets de bord” ?
5. • Utiliser la condition d’adhérence en et .
7. • La force exercée sur le pavé et l’opposé de la force exercée par le pavé sur la couche supérieure de fluide.
8. • Résoudre la projection sur l’axe horizontal du théorème de la résultante cinétique.
   • La distance d’arrêt peut être définie comme la valeur maximale atteinte par la position.

Exercice 3

1. • Appliquer la loi de la quantité de mouvement à une particule de fluide.
   • Comment s’exprime l’accélération d’une particule de fluide à partir du champ de vitesse ?
2. • Écrire la condition d’adhérence sur les 4 parois de la conduite.
3. • En négligeant les effets de bord, quelles sont les invariances du problème ?
   • Utiliser le principe de Curie.
4. • Simplifier l’équation aux dérivées partielles vérifiée par le champ de vitesse en utilisant la question précédente.
   • Primitiver deux fois . On introduira deux constantes.
   • Pour déterminer les constantes, on utilise les conditions aux limites en .
5. • Quelle relation relie le champ de vitesse au débit volumique ?
6. • Relier la différence de pression entre les deux extrémités de la conduite à la dérivée de la pression (l’énoncé précise que le gradient de pression est uniforme).

Exercice 4

1. • Résoudre l’équation fondamentale de l’hydrostatique pour un fluide incompressible.
2. • Utiliser la loi de Hagen-Poiseuille.
4. • La vitesse intervient dans le nombre de Reynolds mais aussi dans le coefficient de perte de charge.
   • Raisonner à nombre de Reynolds fixé.

Exercice 5

Exercice 6

1. • Calculer le nombre de Reynolds dans chacune des deux conduites.
   • À l’aide du diagramme de Moody, calculer le coefficient de perte de charge dans chacune des deux conduites.
   • Calculer la chute de pression dans chacune des deux conduites.
   • Quelle relation relie la chute de pression totale aux chutes de pression dans chacune des deux conduites.

Exercice 7

1. • Quelles sont les 3 forces qui s’exercent sur la bille ?
   • Appliquer le théorème de la résultante cinétique à la bille.
3. • Quelle est la solution particulière de l’équation différentielle ?
   • Exprimer la masse de la bille en fonction de et de .
4. • En comparant et , dans quel régime se trouve-t-on ? Quelle est l’expression de la vitesse dans ce régime ?
5. • Le nombre de Reynolds croit-il ou décroit-il avec ?

Exercice 8

1. • Que vaut le maître couple pour une sphère de rayon ?
2. • Faire le bilan des forces agissant sur la bille.
3. • Comme se simplifie l’équation différentielle en régime stationnaire ?
4. • Isoler la dérivée de la vitesse dans l’équation différentielle.
6. • Que vaut le nombre de Reynolds aux premiers instants du mouvement ?
7. • On peut utiliser la compréhension de liste : L[:,:] par exemple pour prendre toutes les lignes et toutes les colonnes d’un tableau L.
   • Rappeler l’expression du nombre de Reynolds en fonction de la vitesse.
   • Rappeler l’expression de la force de trainée en fonction du coefficient de trainée.
8. • Seule la fonction dvdt doit être modifiée pour prendre en compte la nouvelle expression de la force de trainée.

Exercice 9

1. • Faire un schéma en faisant apparaître les forces en présence sur le voilier.

Exercice 10

1. • Appliquer le théorème de la résultante cinétique au ballon.
4. • La trajectoire du ballon passe-t-elle par les cages ?
5. • Comment s’exprime la force de trainée ?