Catégorie : PSI

Exercice 1

1. • Relier la masse volumique à la pression grâce à l’équation d’état des gaz parfaits.
   • Résoudre l’équation fondamentale de l’hydrostatique.
2. • On considère un cylindre de section et de hauteur . Exprimer la masse contenue dans ce cylindre comme une intégrale.
   • On souhaite montrer que la masse contenue dans un cylindre de hauteur est égale à de la masse contenue dans un cylindre de hauteur infinie.
4. • Utiliser la loi de Laplace et l’équation d’état des gaz parfaits.
5. • Exprimer en fonction de et différentier l’expression obtenue.
6. • Utiliser la question précédente et l’équation fondamentale de l’hydrostatique.

Exercice 2

1. • Calculer la composante normale de la réaction puis utiliser la loi de Coulomb.
   • Projeter le théorème de la résultante cinétique sur l’axe verticale pour relier la réaction normale au poids.
2. • Résoudre la projection sur l’axe horizontal du théorème de la résultante cinétique.
   • Quel est le temps d’arrêt, c’est-à-dire le temps auquel la vitesse est nulle.
   • La distance d’arrêt correspond à la position du solide au temps d’arrêt.
4. • Utiliser un argument d’invariance.
   • Que signifie l’expression de l’énoncé “on néglige les effets de bord” ?
5. • Utiliser la condition d’adhérence en et .
7. • La force exercée sur le pavé et l’opposé de la force exercée par le pavé sur la couche supérieure de fluide.
8. • Résoudre la projection sur l’axe horizontal du théorème de la résultante cinétique.
   • La distance d’arrêt peut être définie comme la valeur maximale atteinte par la position.

Exercice 3

1. • Appliquer la loi de la quantité de mouvement à une particule de fluide.
   • Comment s’exprime l’accélération d’une particule de fluide à partir du champ de vitesse ?
2. • Écrire la condition d’adhérence sur les 4 parois de la conduite.
3. • En négligeant les effets de bord, quelles sont les invariances du problème ?
   • Utiliser le principe de Curie.
4. • Simplifier l’équation aux dérivées partielles vérifiée par le champ de vitesse en utilisant la question précédente.
   • Primitiver deux fois . On introduira deux constantes.
   • Pour déterminer les constantes, on utilise les conditions aux limites en .
5. • Quelle relation relie le champ de vitesse au débit volumique ?
6. • Relier la différence de pression entre les deux extrémités de la conduite à la dérivée de la pression (l’énoncé précise que le gradient de pression est uniforme).

Exercice 4

1. • Résoudre l’équation fondamentale de l’hydrostatique pour un fluide incompressible.
2. • Utiliser la loi de Hagen-Poiseuille.
4. • La vitesse intervient dans le nombre de Reynolds mais aussi dans le coefficient de perte de charge.
   • Raisonner à nombre de Reynolds fixé.

Exercice 5

Exercice 6

1. • Calculer le nombre de Reynolds dans chacune des deux conduites.
   • À l’aide du diagramme de Moody, calculer le coefficient de perte de charge dans chacune des deux conduites.
   • Calculer la chute de pression dans chacune des deux conduites.
   • Quelle relation relie la chute de pression totale aux chutes de pression dans chacune des deux conduites.

Exercice 7

1. • Quelles sont les 3 forces qui s’exercent sur la bille ?
   • Appliquer le théorème de la résultante cinétique à la bille.
3. • Quelle est la solution particulière de l’équation différentielle ?
   • Exprimer la masse de la bille en fonction de et de .
4. • En comparant et , dans quel régime se trouve-t-on ? Quelle est l’expression de la vitesse dans ce régime ?
5. • Le nombre de Reynolds croit-il ou décroit-il avec ?

Exercice 8

1. • Que vaut le maître couple pour une sphère de rayon ?
2. • Faire le bilan des forces agissant sur la bille.
3. • Comme se simplifie l’équation différentielle en régime stationnaire ?
4. • Isoler la dérivée de la vitesse dans l’équation différentielle.
6. • Que vaut le nombre de Reynolds aux premiers instants du mouvement ?
7. • On peut utiliser la compréhension de liste : L[:,:] par exemple pour prendre toutes les lignes et toutes les colonnes d’un tableau L.
   • Rappeler l’expression du nombre de Reynolds en fonction de la vitesse.
   • Rappeler l’expression de la force de trainée en fonction du coefficient de trainée.
8. • Seule la fonction dvdt doit être modifiée pour prendre en compte la nouvelle expression de la force de trainée.

Exercice 9

1. • Faire un schéma en faisant apparaître les forces en présence sur le voilier.

Exercice 10

1. • Appliquer le théorème de la résultante cinétique au ballon.
4. • La trajectoire du ballon passe-t-elle par les cages ?
5. • Comment s’exprime la force de trainée ?

Exercice 1

1. • Attention à ne pas confondre la quantité de matière et la densité particulaire, toutes deux notées fréquemment .
3. • Le modèle proposé ressemble au modèle de Drude. Appliquer la loi de la quantité de mouvement en régime stationnaire.
   • Relier la vitesse au vecteur densité de courant de particules.
4. • Faire un bilan de particules sur une tranche infinitésimale d’atmosphère. Quatre flux de particules y rentrent : du à la gravitation et du à la diffusion, en et en .

Exercice 2

3. • Faire un bilan de particules sur un volume infinitésimal ou sur une boule creuse d’épaisseur infinitésimale.
5. • Insérer la loi de Fick dans l’équation obtenue à la question précédente.
   • Déterminer les constantes en utilisant la densité particulaire à l’infini et le flux particulaire.
6. • La consommation de de la bactérie est le flux particulaire d’ arrivant à la bactérie.
8. • La densité particulaire ne peut pas être négative.

Exercice 3

1. • Combien de neutrons sont captés durant dans le volume considéré ? Combien sont émis ?
2. • Il faut procéder par séparation des variables.
   • Remplacer par la loi de Fick dans l’équation obtenue précédemment.
3. • Distinguer les cas sur le discriminent et utiliser les conditions aux limites pour trouver les constantes.
   • La densité particulaire est une grandeur positive et finie.
5. • À quelle condition la densité particulaire croît-elle exponentiellement avec le temps ?

Exercice 4

1. • Combien de neutrons sont captés durant dans le volume considéré ? Combien sont émis ?
2. • Remplacer par dans l’équation obtenue précédemment.
3. • La densité particulaire doit rester finie en .
4. • Utiliser la relation de Taylor à l’ordre 2 pour approximer et . De même, approximer à l’ordre 1.
5. • On peut utiliser les fonctions np.linspace et np.zeros de la bibliothèque numpy.
6. • Utiliser la bibliothèque matplotlib pour tracer les graphiques demandés.
   • Penser à calculer la densité de neutrons à partir de en utilisant la relation .

Exercice 1

1. • A quelle condition est-il continu ?
   • A quelle condition est-il continu ?
2. • Appliquer la formule du cours reliant résistance thermique, épaisseur, surface et conductivité thermique.
3. • Exprimer la différence de température en fonction du flux thermique pour la loi de Newton.
4. • Le circuit comporte 4 résistances thermiques.
5. • Calculer le flux total traversant le mur.
   • Effectuer un bilan d’énergie sur l’intérieur de la maison pour montrer que la puissance fournie par le chauffage doit compenser exactement la puissance perdue par les murs.

Exercice 2

1. • Utiliser la loi de Fourier et la loi d’Ohm locale.
2. • Faire un bilan d’énergie sur un cylindre creux ou un volume infinitésimal.
3. • Utiliser comme condition aux limites le fait que et ne divergent pas en .

Exercice 3

1. • Faire un bilan d’énergie sur un volume infinitésimal ou une boule creuse.
2. • Résoudre l’équation précédente en régime stationnaire.
3. • La puissance perdue par l’animal est le flux thermique sortant de l’animal en .
4. • Déterminer la puissance volumique produite par l’animal et montrer qu’elle est d’autant plus grande que l’animal est petit.

Exercice 4

1. • Faire un bilan d’énergie sur une tranche de longueur infinitésimale. Quels sont les 3 flux thermiques entrant dans cette tranche ?
   • Dans une tranche infinitésimale d’ailette, de la puissance rentre par conduction en et en et par conducto-convection sur les 4 parois latérales.
2. • Écrire la continuité du flux thermique en .
3. • Résoudre l’équation différentielle et utiliser les conditions aux limites pour trouver les constantes.

Exercice 5

Exercice 6

Exercice 1

1. • Le courant va des potentiels les plus élevés vers les potentiels les moins élevés.
2. • Laquelle des hypothèses de l’énoncé implique-t-elle que le régime est stationnaire ?
   • Exprimer le courant à travers un cylindre de rayon et de hauteur en fonction de , et .

Exercice 2

1. • Le poids peut être négligé. La composante magnétique et la composante électrique de la force de Lorentz sont toutes deux non-nulles.
2. • Projeter le théorème de la quantité de mouvement suivant .
3. • Relier la circulation du champ électrique à la différence de potentiel.

Exercice 3

1. • Calculer la section nécessaire pour chaque matériau afin d’obtenir la résistance linéique souhaitée.
   • En déduire la masse linéique pour chaque matériau.

Exercice 4

1. • Exprimer le courant passant dans une demi sphère dans le sol, de rayon en fonction de et . Ce courant dépend-il de ?
2. • Utiliser la loi d’Ohm locale.
   • Déterminer la circulation du champ électrique entre et .
3. • Que donne la relation précédente en prenant ?
6. • Calculer la différence de potentiel maximale admissible entre deux pieds d’un être humain.
   • Quelle distance y a-t-il typiquement entre deux pieds.
   • Dans le pire des cas, les pieds sont “l’un derrière l’autre” : leurs coordonnées sont séparées de .

Exercice 5

1. • Justifier pourquoi le champ de vitesses des porteurs de charges n’a pas de composante selon .
2. • Écrire la seconde loi de Newton en régime stationnaire. Les forces sont la force de frottement fluide modélisant les chocs avec le réseau cristallin et la force de Lorentz (partie magnétique et partie électrique).
   • Projeter la seconde loi de Newton selon et . Combiner ces équations pour isoler les composantes de selon et .
3. • Exprimer la circulation de puis celle de entre et .
   • Relier la composante de selon à .

Exercice 6

1. • Exprimer la résistance en fonction de la résistivité, de la longueur et de la section.
   • Exprimer la longueur de la spirale en fonction du pas, du rayon et de la hauteur du cylindre.

Exercice 7

1. • Reprendre le cours sur le modèle de Drude.
2. • Une seule force agit sur l’électron entre deux collisions. Laquelle ?
   • Écrire la loi de la quantité de mouvement en l’absence de choc.
3. • La fonction np.linspace(a, b, N) crée un array numpy de N valeurs régulièrement espacées entre a et b. On peut s’en servir pour créer le array t.
   • La fonction np.zeros(N) crée un array numpy de N valeurs nulles. On peut s’en servir pour initialiser le array des vitesses.
   • Utiliser la relation de Taylor pour exprimer en fonction de et . En déduire une relation entre v[i+1] et v[i].
4. • Quelle est la probabilité que l’instruction random() < dt/tau: renvoie True ?
5. • Quel est le lien entre le vecteur densité de courant et la vitesse d’un électron ?
   • À quelle densité particulaire correspond un seul électron dans un conducteur de longueur et de section ?
8. • Quel lien existe-t-il entre un instant et l’indice i correspondant ?
   • On peut utiliser le slincing : I[i:] renvoie un array numpy contenant les valeurs de I à partir de l’indice i jusqu’à la fin.

Exercice 8

Exercice 1

1. • Lorsque le transistor est passant, quel doit être l’état de la diode ? Lorsque le transistor est bloqué, quel doit être l’état de la diode ?
2. • Dans chacun des cas, redessiner le schéma avec les interrupteurs dans le bon état.
   • Appliquer la loi des mailles dans chacun des cas.
3. • A quelle condition le développement limité de l’exponentielle donne-t-il une fonction affine ?
4. • Relier les valeurs moyenne de , et .
   • Exprimer la valeur moyenne de en fonction de et . On pourra tracer un chronogramme de .
   • Que vaut la valeur moyenne de ?

Exercice 2

1. • La bobine est-elle un dipole de type source de tension ou source de courant ?
2. • Lorsque est ouvert, quel est le signe de . Quand il est fermé, quel est le signe de . Même question pour .
3. • Écrire la tension aux bornes de la bobine comme une dérivée. Que vaut la moyenne d’une dérivée ?
   • Exprimer la valeur moyenne de en fonction de , et .
4. • Déterminer l’équation différentielle vérifiée par entre et et entre et .
   • Résoudre cette équation différentielle sans cherche à exprimer la constante.
   • Relier et à entre et et entre et .
5. • Raisonner géométriquement sur les aires dans le chronogramme.

Exercice 3

1. • Pour dresser la liste des états sans en oublier, on peut s’inspirer du comptage en binaire.
   • La source de tension de doit pas être court-circuitée. La source de courant ne doit pas être en circuit ouvert.
   • Pour que de la puissance soit transférée entre l’entrée et la sortie, il faut que les deux sources soient dans la même maille.
2. • Tracer les caractéristiques des 4 interrupteurs et placer dessus les deux points de fonctionnements correspondant aux deux états retenus.
   • Pour chacun des deux états retenus, indiquer le signe de la tension et du courant pour chaque interrupteur. On veillera à placer les tensions en convention récepteur.
4. • Quels sont les ensembles de valeurs que peuvent prendre et ?

Exercice 4

1. • Refaire le schéma en prenant en compte le fait que le transistor est bloqué.
2. • Quel valeurs peuvent prendre lorsque le transistor est passant ? Même question pour .
   • Quel valeurs peuvent prendre lorsque le transistor est passant ? Même question pour la diode.

Exercice 5

1. • Exprimer l’ondulation du courant en fonction de l’inductance totale, de la période, de la tension d’alimentation et du rapport cyclique.
   • Pour quel rapport cyclique l’ondulation est-elle maximale ?
   • Quelle est l’inductance équivalente à deux inductances en séries ?

Exercice 6

Exercice 7

1. • Lister les états possibles des interrupteurs.
   • Utiliser les règles d’interconnexions des sources.
   • Pourquoi et ne peuvent pas être fermés simultanément ? Même question pour et .
   • Pourquoi et ne peuvent pas être ouverts simultanément ? Même question pour et .
2. • Écrire la loi des mailles.
   • Il peut être pratique de reproduire le schéma avec les interrupteurs dans l’état considéré.
4. • Quel est le rôle d’un onduleur ?
6. • Que représentent i1, i2 et i3 ?
8. • Quel signe peut avoir le courant ?
   • Le courant dans un interrupteur peut-il changer de signe ? Même question pour une diode.

Exercice 1

1. • Quelles amplitudes complexes sont en fait réelles si on prend commet origine des phases ?
   • Écrire la loi des mailles en utilisant les amplitudes complexes.

Exercice 2

1. • Donner le champ magnétique créé par le solénoïde. Déterminer le flux de ce champ sur le cadre.
   • Quelle est la direction du champ créé par le solénoïde ? Quelle est celle de la surface élémentaire du cadre ?
   • Quelle relation relie le flux mutuel et l’inductance mutuelle ?
4. • Vers quelle position d’équilibre le couple électromagnétique ramène-t-il le cadre ? Pour quelle position du cadre le flux est-il maximal ?

Exercice 3

1. • À quelle condition le couple moyen exercé par le moteur est-il non nul ?
2. • La résistance est négligée.
4. • D’après la loi de Lenz-Faraday, quelle relation lie à ?
   • Relier la tension aux bornes de l’induit à la force contre-électromotrice pour cet essai.
5. • Grâce à une loi des mailles, relier à , et pour cet essai.

Exercice 4

1. • Écrire la condition de synchrone (donnée dans l’énoncé). Attention aux unités.
2. • Que vaut le courant dans l’essai n°1 ? Écrire la loi des mailles pour l’essai n°1 et en déduire la force contre-électromotrice.
   • Écrire la loi des mailles pour l’essai n°2 en utilisant la valeur de donnée.
   • Écrire le théorème de Pythagore dans le triangle apparaissant sur le diagramme de Fresnel.
3. • Utiliser la condition de synchronisme.
4. • Écrire la loi des mailles dans un circuit statorique puis la représenter sur un diagramme de Fresnel. Représenter les angles et sur le diagramme.
   • Relier géométriquement les projections de et sur l’axe des abscisses. En déduire une relation mathématique en utilisant la trigonométrie.
5. • Attention, il y a deux phases à prendre en compte.
   • Rappel des hypothèses : pertes Joules négligeables.
6. • Exprimer la puissance mécanique en fonction du couple et de la vitesse angulaire puis la relier avec l’expression de la question précédente.
   • Pour quelle valeur de le couple est-il maximal ?
7. • Représenter le diagramme de Fresnel et utiliser la trigonométrie pour déterminer puis .

Exercice 5

1. • Exprimer la puissance apparente nominale en fonction de la tension nominale et du courant nominal.
2. • Utiliser le courant de court-circuit.
   • Représenter le circuit équivalent d’une phase en court-circuit.
   • Représenter le diagramme de Fresnel associé à la loi des mailles pour un induit court-circuité.
   • Utiliser le théorème de Pythagore.
4. • Placer l’angle sur le diagramme.
   • Projeter verticalement et horizontalement.
5. • Exprimer la puissance fournie au réseau par l’alternateur en fonction de , et . Attention, on étudie un alternateur diphasé.
   • Comment s’exprimer les pertes joules statoriques ?

Exercice 6

1. • Écrire une équation électrique et une équation mécanique et utiliser les relations entre grandeurs mécaniques et électriques pour une machine à courant continu.
   • Pour l’équation électrique, écrire la loi des mailles dans le circuit électrique équivalent de l’induit.
   • Pour l’équation mécanique, écrire le théorème du moment cinétique au système masse + cable + poulie + rotor.

Exercice 7

1. • Le couple dont on demande l’expression est le couple qui s’exerce sur la machine.
2. • Écrire une équation électrique et une équation mécanique et utiliser les relations entre grandeurs mécaniques et électriques pour une machine à courant continu.
   • Pour l’équation électrique, écrire la loi des mailles dans le circuit électrique équivalent de l’induit.
   • Pour l’équation mécanique, écrire le théorème du moment cinétique au rotor.
3. • Calculer la tension aux bornes du moteur. Est-elle égale à la tension nominale ?

Exercice 8

Exercice 9

1. • Dans quelle partie du moteur les étincelles se forment-elles ?
   • Qu’est-ce qui peut provoquer la formation d’étincelles ?

Exercice 10

1. • Dans les conditions nominales, quelle est la puissance mécanique fournie par le moteur ? Quelle est la puissance électrique consommée ?
   • La puissance électrique est consommée par l’induit et par l’inducteur.

Exercice 11

1. • Que vaut la constante de couplage du moteur ?
   • Que vaut la résistance de l’induit ?
   • Quelles sont les pertes cuivre dans les conditions nominales ?
   • Faire un bilan de puissance sur l’induit.

Exercice 12

1. • Does the motor looks like a synchronous or DC motor?
   • What important part is missing for the motor to work?