Catégorie : PSI

1 – Einstein relation and stability of isothermal atmosphere

1. Using the ideal gas law, ascertain the particule density [latex]n(z)[/latex].
   • Attention à ne pas confondre la quantité de matière et la densité particulaire, toutes deux notées fréquemment [latex]n[/latex].
2. Using Fick law, show that a diffusion phenomenon exists. Express the current density vector [latex]\vec{j}_\text{diff}[/latex].
3. The particules that make air are in motion at microscopic scale. The collisions between particules are modeled with a drag force [latex]\vec{f}=-\frac{m}{\tau}\vec{v}[/latex] that apply on an average particle. Make an inventory of the forces and deduce the limit speed [latex]\vec{v}[/latex] of an average particule. Deduce the current density vector [latex]\vec{j}_\text{mig}[/latex] due to the gravitation.
   • Le modèle proposé ressemble au modèle de Drude. Appliquer la loi de la quantité de mouvement en régime stationnaire.
   • Relier la vitesse au vecteur densité de courant de particules.
4. By making an inventory of the particules on a slice of atmosphere in a stationary state, express a relation between [latex]D[/latex], [latex]\tau[/latex], [latex]k_B[/latex], [latex]T[/latex] and [latex]m[/latex]. This relation is known as Einstein relation.
   • Faire un bilan de particules sur une tranche infinitésimale d’atmosphère. Quatre flux de particules y rentrent : du à la gravitation et du à la diffusion, en [latex]z[/latex] et en [latex]d+dz[/latex].

2 – Taille critique d’une bactérie aérobie

1. Rappeler la loi de Fick reliant le vecteur densité de courant particulaire [latex]\vec{j}=j(r)\vec{u_r}[/latex] à la densité particulaire [latex]n(r)[/latex].
2. Quelle est l’unité de [latex]D[/latex].
3. Établir l’équation de diffusion de particules en coordonnées sphériques.
   • Faire un bilan de particules sur un volume infinitésimal ou sur une boule creuse d’épaisseur infinitésimale.
4. Exprimer le nombre [latex]\phi(r)[/latex] de molécules de \ce{O2} qui traversent par unité de temps une sphère de rayon [latex]r[/latex] ([latex]r>R[/latex]) en fonction de [latex]j(r)[/latex] et de [latex]r[/latex]. Justifier que [latex]\phi[/latex] ne dépend pas du rayon [latex]r[/latex] de la sphère considérée.
5. Déterminer l’expression de la densité particulaire [latex]n(r)[/latex] en \ce{O2} dissous dans l’eau. On exprimera les deux constantes d’intégration en fonction de [latex]D[/latex], [latex]\phi[/latex], [latex]\mathcal{N}_A[/latex] et [latex]c_0[/latex]. En déduire la densité particulaire [latex]n_R[/latex] en surface de la bactérie, en [latex]r=R[/latex].
   • Résoudre l’équation de diffusion en régime stationnaire.
   • Déterminer les constantes en utilisant la densité particulaire à l’infini et le flux particulaire.
6. En étudiant la consommation en \ce{O2} de la bactérie pendant une durée [latex]dt[/latex], exprimer [latex]\phi[/latex] en fonction de [latex]a[/latex], [latex]\mathcal{N}_A[/latex], de la masse volumique [latex]\mu[/latex] de la bactérie et de son rayon [latex]R[/latex].
   • La consommation de [latex]\ce{O2}[/latex] de la bactérie est le flux particulaire d'[latex]\ce{O2}[/latex] arrivant à la bactérie.
7. En déduire l’expression de [latex]n_R[/latex]. Comment varie [latex]n_R[/latex] en fonction de [latex]R[/latex].
8. Quelle inégalité doit vérifier [latex]n_R[/latex] pour que la bactérie ne suffoque pas. En déduire l’expression du rayon critique [latex]R_c[/latex] d’une bactérie aérobie. Effectuer l’application pour [latex]a=\SI{2e-2}{mol.kg^{-1}.s^{-1}}[/latex]. Comparer ce résultat à la dimension caractéristique [latex]R=1[/latex] à [latex]\SI{10}{\mu m}[/latex] d’une bactérie réelle.
   • La densité particulaire ne peut pas être négative.

3 – Désintégration de l’uranium 235

1. En faisant un bilan de neutron sur une volume mésoscopique, démontrer l’équation fondamentale de la neutronique [latex display= »true »]\frac{\partial N}{\partial t}=-\divv\vec{j}+\frac{\nu-1}{\tau}N(x,y,z,t)[/latex]
   • Combien de neutrons sont captés durant [latex]dt[/latex] dans le volume considéré ? Combien sont émis ?
2. On considère une sphère de rayon [latex]R[/latex] d’uranium 235 et on suppose le problème à symétrie sphérique. On recherche une solution de l’équation ci-dessus sous la forme [latex]N(r,t) = \frac{f(t)g(r)}{r}[/latex]. Déterminer les équations vérifiées par [latex]f[/latex] et par [latex]g[/latex].
   • Il faut procéder par séparation des variables.
3. On prend pour condition aux limites [latex]N(r=R)=0[/latex]. Justifier.
4. Quelles sont les différentes formes de solution pour [latex]g(r)[/latex]. Lesquelles décrivent physiquement la réaction en chaine d’une bombe nucléire ? Résoudre l’équation différentielle sur [latex]g(r)[/latex].
   • Distinguer les cas sur le discriminent et utiliser les conditions aux limites pour trouver les constantes.
   • Une solution constamment nulle ne décrit pas une explosion nucléaire.
5. En déduire la solution de l’équation sur [latex]f(t)[/latex].
6. Sous quelle condition sur le rayon la réaction s’emballe-t-elle ?
7. Quelle masse minimale doit donc avoir une bombe nucléaire ?

1 – Conduction thermique dans un mur

1. Quelles sont les conditions aux limites vérifiées à chaque interface (par [latex]T[/latex] ou par [latex]\vec{j}[/latex]) ?
   • A quelle condition [latex]\vec{j}[/latex] est-il continu ?
   • A quelle condition [latex]T[/latex] est-il continu ?
2. Calculer la résistance thermique associée à chaque partie du mur (en pierre et en laine de verre).
   • Appliquer la formule du cours reliant résistance thermique, épaisseur, surface et conductivité thermique.
3. Montrer que la loi de Newton peut donner lieu à une résistance thermique qu’on précisera.
   • Exprimer la différence de température en fonction du flux thermique pour la loi de Newton.
4. Tracer le circuit équivalent et calculer la résistance équivalente.
   • Le circuit comporte 4 résistances thermiques.
5. Quelle puissance doit fournir le radiateur de la pièce ?
   • Calculer le flux total traversant le mur.
   • Effectuer un bilan d’énergie sur l’intérieur de la maison pour montrer que la puissance fournie par le chauffage doit compenser exactement la puissance perdue par les murs.

2 – Fil parcouru par un courant électrique

1. Dans quelle direction de déplace les charges ? Même question pour la chaleur.
   • Utiliser la loi de Fourier et la loi d’Ohm locale.
2. Établir l’équation de la diffusion thermique en prenant en compte la puissance produite par effet Joule.
   • Faire un bilan d’énergie sur un cylindre creux ou un volume infinitésimal.
3. Intégrer l’équation de diffusion en régime stationnaire et pour une température extérieure du fil [latex]T_0[/latex] connue. Tracer [latex]T(r)[/latex].
   • Utiliser comme condition aux limites le fait que [latex]j[/latex] et [latex]T[/latex] ne divergent pas en [latex]0[/latex].
4. Intégrer l’équation de diffusion en régime stationnaire et avec comme condition aux limites la loi de Newton : [latex]\vec{j}_\text{thé} = h (T(R)-T_\text{air})\vec{e}[/latex] où [latex]\vec{e}[/latex] est dirigé vers l’extérieur du fil. Tracer [latex]T(r)[/latex].

3 – Size of marine mammals

1. Establish the thermal diffusion equation in water (in spherical coordinates).
   • Faire un bilan d’énergie sur un volume infinitésimal ou une boule creuse.
2. Ascertain the temperature [latex]T(r)[/latex] around the animal in stationnary state.
   • Résoudre l’équation précédente en régime stationnaire.
3. Determine the thermal power lost by the mammal by integrating [latex]\vec{j}_\text{th}[/latex].
   • La puissance perdue par l’animal est le flux thermique sortant de l’animal en [latex]r=R[/latex].
4. Explain why there is no small aquatic mammal.
   • Déterminer la puissance volumique produite par l’animal et montrer qu’elle est d’autant plus grande que l’animal est petit.

4 – Ailette de refroidissement

1. Montrer que l’équation différentielle vérifiée par [latex]T(x)[/latex] peut se mettre sous la forme [latex]\frac{d^2T}{dx^2}-\frac{T(x)-T_a}{L^2}=0[/latex] où on exprimera [latex]L[/latex] en fonction de [latex]\lambda[/latex], [latex]h[/latex] et [latex]e[/latex]. Calculer la valeur numérique de [latex]L[/latex].
   • Faire un bilan d’énergie sur une tranche de longueur infinitésimale. Quels sont les 3 flux thermiques entrant dans cette tranche ?
   • Dans une tranche infinitésimale d’ailette, de la puissance rentre par conduction en [latex]x[/latex] et en [latex]x+dx[/latex] et par conducto-convection sur les 4 parois latérales.
2. Justifier les deux conditions aux limites suivantes : [latex]T(0)=T_0[/latex] et [latex]-\lambda \frac{dT}{dx}(x=l) = h(T(l)-T_a)[/latex].
   • Écrire la continuité du flux thermique en [latex]x=l[/latex].
3. Exprimer [latex]T(x)[/latex] en fonction de [latex]x[/latex] et le mettre sous la forme : [latex]T(x)=T_1+T_2(\cosh(\frac{x}{L})-f(l,L,\lambda,h)\sinh(\frac{x}{L}))[/latex].
4. Montrer que compte tenu de la longueur de l’ailette, la température de l’ailette est approximativement constante et égale à [latex]T_0[/latex] (on montrera que l’erreur relative commise sous cette hypothèse est inférieur à [latex]1\%[/latex]). On considère maintenant la température de l’ailette égale à [latex]T_0[/latex].
   • Faire l’application numérique du terme en facteur de [latex]T_0[/latex].
5. Calculer l’expression de la puissance thermique [latex]\mathcal{P}[/latex] échangée entre l’ailette et l’air.
6. Déterminer la puissance thermique [latex]\mathcal{P}'[/latex] échangée entre le corps de température [latex]T_0[/latex] et l’air ambiant par la surface d’air [latex]S’=Avé[/latex] en l’absence d’ailette ([latex]S'[/latex] est la surface de la base de l’ailette). En déduire l’expression de l’efficacité [latex]\eta = \frac{\mathcal{P}}{\mathcal{P}’}[/latex]. Calculer la valeur.

1 – Resistance of a holed cylinder

1. In which direction is [latex]\vec{j}[/latex] oriented ?
   • Le courant va des potentiels les plus élevés vers les potentiels les moins élevés.
2. Why is the flux of [latex]\vec{j}[/latex] conservative ? By applying this on a cylinders of any radius [latex]r[/latex], deduce that [latex]\vec{j}=C/r\vec{e_r}[/latex] where [latex]C[/latex] is a constant that you will express as a function of [latex]I[/latex] and [latex]l[/latex].
   • Laquelle des hypothèses de l’énoncé implique-t-elle que le régime est stationnaire ?
   • Exprimer le courant à travers un cylindre de rayon [latex]r[/latex] et de hauteur [latex]l[/latex] en fonction de [latex]j[/latex], [latex]l[/latex] et [latex]r[/latex].
3. By integrating the previous expression between [latex]R_1[/latex] and [latex]R_2[/latex] and using Ohm’s law, determine the resistance of the tube.

2 – Effet Hall

1. Faire un bilan des forces s’exerçant sur un électron du conducteur ohmique.
   • Le poids peut être négligé. La composante magnétique et la composante électrique de la force de Lorentz sont toutes deux non-nulles.
2. En régime stationnaire, les lignes de courant sont suivant [latex]\vec{e_y}[/latex]. En déduire une expression de la composante [latex]E_x[/latex] du champ électrique suivant [latex]\vec{e_x}[/latex] en fonction de la charge [latex]e[/latex] d’un porteur, de leur densité [latex]n[/latex], de [latex]\vec{j}[/latex] et de [latex]\vec{B}[/latex].
   • Projeter le théorème de la quantité de mouvement suivant [latex]\vec{e}_x[/latex].
3. En déduire la différence de potentiel existant entre les faces [latex]x=-\frac{a}{2}[/latex] et [latex]x=\frac{a}{2}[/latex]. L’exprimer en fonction de [latex]I[/latex] et d’un paramètre qu’on notera [latex]R_\text{Hall}[/latex] et dont on donnera l’unité.
   • Relier la circulation du champ électrique à la différence de potentiel.
4. Évaluer la valeur de [latex]R_\text{Hall}[/latex] pour le champ magnétique terrestre dans le cas du cuivre ([latex]M_{\ce{Cu}}=\SI{63.5}{g.mol^{-1}}[/latex] ; [latex]\mu_{\ce{Cu}}=\SI{8.96}{g.cm^{-3}}[/latex]) \textbf{puis} d’un semi-conducteur de densité volumique de charges [latex]n=\SI{1.6e22}{m^{-3}}[/latex]. Est-il possible d’utiliser ce dispositif pour mesurer le champ magnétique terrestre dans les deux cas ?

3 – Paratonnerre

1. [latex]\vec{j}[/latex] est-il à flux conservatif dans le sol ? En déduire la dépendance en [latex]r[/latex] de [latex]\vec{j}[/latex].
   • Exprimer le courant passant dans une demi sphère dans le sol, de rayon [latex]r[/latex] en fonction de [latex]r[/latex] et [latex]j[/latex]. Ce courant dépend-il de [latex]r[/latex] ?
2. En déduire l’expression de [latex]V(r)[/latex] en supposant que [latex]V[/latex] vaut [latex]0[/latex] à l’infini.
   • Utiliser la loi d’Ohm locale.
   • Déterminer la circulation du champ électrique entre [latex]r[/latex] et [latex]+\infty[/latex].
3. Exprimer le potentien du paratonnerre en fonction du courant qui le parcourt et introduire la <>.
   • Que donne la relation précédente en prenant [latex]r=R[/latex] ?
4. Cette résistance ne doit pas dépasse \SI{30}{\ohm}. Déterminer le rayon minimum de la demi-sphère.
5. Pour un éclair, le courant peut atteindre \SI{300}{kA}. Tracer [latex]V(r)[/latex] et faire l’application numérique de [latex]V(R)[/latex].
6. Une personne qui n’a pas les deux pieds à la même distance de la demi-sphère peut avoir ses pieds à un potentiel différent. Sachant que la résistance entre ses pieds est de l’ordre \SI{5}{k\ohm} et qu’un courant de \SI{25}{mA} à travers le corps peut être dangereux, calculer la distance minimum à laquelle un homme doit se tenir de la demi-sphère en cas d’orage. Comparer à la valeur proposée sur la photo et proposer une explication à l’éventuel écart.
   • Calculer la différence de potentiel maximale admissible entre deux pieds d’un être humain.
   • Quelle distance [latex]d[/latex] y a-t-il typiquement entre deux pieds.
   • Dans le pire des cas, les pieds sont <> : leurs coordonnées [latex]r[/latex] sont séparées de [latex]d[/latex].

4 – Magnéto-résistance

1. En reprenant le modèle de Drude, déterminer l’expression de la vitesse [latex]\vec{v}[/latex] des porteurs de charges puis [latex]\vec{j}[/latex].
   • Écrire la seconde loi de Newton en régime stationnaire. Les forces sont la force de frottement fluide modélisant les chocs avec le réseau cristallin et la force de Lorentz (partie magnétique et partie électrique).
   • Projeter la seconde loi de Newton selon [latex]r[/latex] et [latex]\theta[/latex]. Combiner ces équations pour isoler les composantes de [latex]\vec{v}[/latex] selon [latex]\vec{e}_r[/latex] et [latex]\vec{e}_\theta[/latex].
2. En utilisant la même méthode que dans l’exercice précédant, déterminer l’expression de la résistance [latex]R[/latex] du système.
   • Exprimer la circulation de [latex]E[/latex] puis celle de [latex]j[/latex] entre [latex]R_1[/latex] et [latex]R_2[/latex].
   • Relier la composante de [latex]\vec{j}[/latex] selon [latex]r[/latex] à [latex]I[/latex].

1 – Hachage sur charge inductive

1. Dans quel état est la diode sur [latex][0,\alpha T][/latex] ? sur [latex][\alpha T,T][/latex] ?
   • Lorsque le transistor est passant, quel doit être l’état de la diode ? Lorsque le transistor est bloqué, quel doit être l’état de la diode ?
2. Établir les équations différentielles qui régissent l’évolution du courant [latex]i_s[/latex], sur [latex][0,\alpha T][/latex] et [latex][\alpha T,T][/latex].
   • Dans chacun des cas, redessiner le schéma avec les interrupteurs dans le bon état.
   • Appliquer la loi des mailles dans chacun des cas.
3. Résoudre les équations différentielles sur [latex]i_s[/latex], sans chercher à exprimer les constantes. À quelle condition sur les valeurs de [latex]r[/latex], [latex]L[/latex], et [latex]T[/latex], l’évolution du courant dans la charge est-elle affine par morceau ? On répondra qualitativement à la question.
   • A quelle condition le développement limité de l’exponentielle donne-t-il une fonction affine ?
4. Établir l’expression de la valeur moyenne de l’intensité du courant dans la charge en fonction de [latex]\alpha[/latex], [latex]E[/latex] et [latex]r[/latex]. Effectuer l’application numérique.
   • Relier les valeurs moyenne de [latex]u_s[/latex], [latex]u_L[/latex] et [latex]u_r[/latex].
   • Exprimer la valeur moyenne de [latex]u_s[/latex] en fonction de [latex]\alpha[/latex] et [latex]E[/latex]. On pourra tracer un chronogramme de [latex]u_s[/latex].
   • Que vaut la valeur moyenne de [latex]u_L[/latex] ?

2 – Hachage à stockage inductif

1. Montrer que la commande des deux interrupteurs doit être complémentaire (ni ouverts ni fermés tous les deux en même temps).
   • La bobine est-elle un dipole de type source de tension ou source de courant ?
2. Identifier les interrupteurs à utiliser en traçant leur caractéristique courant-tension.
   • Lorsque [latex]K_1[/latex] est ouvert, quel est le signe de [latex]u_1[/latex]. Quand il est fermé, quel est le signe de [latex]i_1[/latex]. Même question pour [latex]K_2[/latex].
3. Tracer la forme d’onde de la tension aux bornes de la bobine. En déduire une relation entre [latex]U[/latex], [latex]U'[/latex] et [latex]\alpha[/latex].
   • Écrire la tension aux bornes de la bobine comme une dérivée. Que vaut la moyenne d’une dérivée ?
   • Exprimer la valeur moyenne de [latex]u_L[/latex] en fonction de [latex]\alpha[/latex], [latex]U[/latex] et [latex]U'[/latex].
4. Tracer les formes d’ondes des courants dans la bobine [latex]i_L[/latex] et dans les sources d’entrée [latex]i[/latex] et de sortie [latex]i'[/latex]. On ne cherchera pas à identifier les constantes.
   • Déterminer l’équation différentielle vérifiée par [latex]i_L[/latex] entre [latex]0[/latex] et [latex]\alpha T[/latex] et entre [latex]\alpha T[/latex] et [latex]T[/latex].
   • Résoudre cette équation différentielle sans cherche à exprimer la constante.
   • Relier [latex]i[/latex] et [latex]i'[/latex] à [latex]i_L[/latex] entre [latex]0[/latex] et [latex]\alpha T[/latex] et entre [latex]\alpha T[/latex] et [latex]T[/latex].
5. Exprimer les valeurs moyennes [latex]I[/latex] et [latex]I'[/latex] des courants [latex]i(t)[/latex] et [latex]i'(t)[/latex] en fonction de la valeur moyenne [latex]I_L[/latex] du courant [latex]i_L(t)[/latex] dans la bobine.
   • Raisonner géométriquement sur les aires dans le chronogramme.
6. En déduire l’expression du rapport [latex]I’/I[/latex] en fonction de [latex]\alpha[/latex]. Que dire du cas [latex]\alpha=1[/latex] ?
7. Dresser un bilan de puissance en exprimant la puissance moyenne cédée par la source de tension [latex]U[/latex], la puissance moyenne consommée par celle de tension [latex]U'[/latex] et le rendement.
8. Quels interrupteurs faudrait-il choisir si le courant dans la bobine était toujours négatif ?
   • Reprendre les indications de la question 3.

3 – Hacheur en pont

1. Dresser la liste de tous les états pour les interrupteurs. Préciser les états autorisés. Dans la suite, on ne s’intéresse qu’aux états qui permettent un transfert de puissance entre l’entrée et la sortie. Quels sont-ils ?
   • Pour dresser la liste des états sans en oublier, on peut s’inspirer du comptage en binaire.
   • La source de tension de doit pas être court-circuitée. La source de courant ne doit pas être en circuit ouvert.
   • Pour que de la puissance soit transférée entre l’entrée et la sortie, il faut que les deux sources soient dans la même maille.
2. En étudiant les contraintes qui pèsent sur les interrupteurs, préciser quels interrupteurs choisir.
   • Tracer les caractéristiques des 4 interrupteurs et placer dessus les deux points de fonctionnements correspondant aux deux états retenus.
   • Pour chacun des deux états retenus, indiquer le signe de la tension et du courant pour chaque interrupteur. On veillera à placer les tensions en convention récepteur.
3. Le hacheur fonctionne de manière périodique. Les interrupteurs commandés sont fermés sur [latex][0,\alpha T][/latex] et ouverts sur [latex][\alpha T, T][/latex]. Comment nomme-t-on [latex]\alpha[/latex].
4. Tracer les formes d’onde de l’intensité [latex]i_e[/latex] du courant en entrée et de la tension [latex]u[/latex] en sortie. En déduire les valeurs moyennes [latex]I_e[/latex] et [latex]U[/latex] de [latex]i_e[/latex] et [latex]u[/latex]. Quelle est la particularité de ce hacheur.
   • Quels sont les ensembles de valeurs que peuvent prendre [latex]U[/latex] et [latex]I_e[/latex] ?
5. Calculer les puissances délivrées par la source d’entrée et absorbée par celle de sortie. En déduire le rendement du hacheur.

4 – Improvement of the yield of a continuous voltage source

1. For the circuit (a), calculate the mean voltage on [latex]R[/latex] and then the yield of the device.
2. For the circuit (b), calculate the mean voltage on the capacitor (some approximations can be made). Calculate the yield for the device.