Catégorie : PSI

1 – Electric field ans potentiel created by a uniformly charged ball

1. Ascertain the electric field and then the electric potential in every point of space. The electric potential is taken null far away from the ball.
   • Il faut d’abord exprimer le champ électrique puis déterminer le potentiel électrique.
   • Effectuer les 4 étapes : analyse des invariances, analyse des symétries, choix de la surface de Gauss, théorème de Gauss.
   • Pour exprimer la charge intérieure, il est nécessaire de distinguer les cas.
   • Une fois le champ électrique exprimé, utiliser la relation [latex]\vec{E}=-\vec{\text{grad}}V[/latex] pour trouver [latex]V[/latex].
   • L’analyse des symétries et des invariances permet de simplifier l’expression de [latex]\vec{\text{grad}}V[/latex] donnée dans l’énoncé.
   • Déterminer d’abord la constante d’intégration dans le cas [latex]r\gt R[/latex] puis trouver celle dans l’autre cas par continuité de [latex]V[/latex] en [latex]R[/latex].
   • La constante d’intégration peut être déterminée grâce au fait que [latex]V(r)[/latex] est nul très lion de la boule.
2. Plot [latex]E(r)[/latex] ans [latex]V(r)[/latex] as a function of [latex]r[/latex].

2 – Champ de gravitation

1. Calculer numériquement les valeurs de [latex]\mu_0[/latex] et [latex]a[/latex].
   • La masse volumique de la planète et la masse volumique des roches superficielles donnent deux équations qui permettent de trouver [latex]\mu_0[/latex] et [latex]a[/latex].
   • Comment la masse totale de la planète s’exprime-t-elle en fonction d’une intégrale de [latex]\mu(r)[/latex] ?
2. Établir l’expression littérale du champ de gravitation créé par la planète dans tout l’espace.
   • Effectuer les 4 étapes : analyse des invariances, analyse des symétries, choix de la surface de Gauss, théorème de Gauss.
3. Pour quel rayon le champ de gravitation est-il maximal à l’intérieur de la planète ? L’exprimer en fonction de [latex]R[/latex].
   • Dériver [latex]g(r)[/latex] pour trouver son extrémum.

3 – Dipôle électrostatique

1. Déterminer le potentiel électrique créé par chacune des charges en fonction de [latex]d[/latex] et [latex]d'[/latex], en supposant celui-ci nul à l’infini. En déduire le potentiel électrique créé par le dipôle constitué des deux charges.
   • Quel est le champ électrique créé par une particule ponctuelle chargée à l’origine du repère ? Quel est le potentiel électrique associé ?
2. Dans l’approximation où [latex]r>>a[/latex], montrer que l’expression du champ électrique total s’écrit [latex display= »true »]V(M)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0r^2}\vec{d}.\vec{e_r}[/latex] où on exprimera [latex]\vec{d}[/latex]. Le vecteur [latex]\vec{d}[/latex] est appelé moment dipolaire, à ne pas confondre avec la distance [latex]d[/latex].
   • Utiliser le théorème de superposition et faire le développement limité de [latex]V[/latex] au premier ordre non nul.
   • Utiliser la relation de Chasles pour relier [latex]d[/latex] et [latex]d'[/latex] à [latex]r[/latex].
3. En déduire l’expression du champ électrique dans la même approximation.
   • Utiliser la relation entre [latex]v[/latex] et [latex]\vec{E}[/latex] et la définition fournie du gradient en coordonnées sphériques.

4 – Condensateur cylindrique

1. Que signifie << négliger les effets de bord >> ?
2. Établir l’expression du champ électrique en tout point de l’espace.
   • Effectuer les 4 étapes : analyse des invariances, analyse des symétries, choix de la surface de Gauss, théorème de Gauss.
3. Établir l’expression de la différence de potentiel entre les deux armatures.
   • Utiliser l’expression de la circulation de [latex]\vec{E}[/latex] entre deux points placés sur l’un et l’autre des cylindres.
4. En déduire l’expression de la capacité du condensateur cylindrique.

1 – Modulation d’amplitude

1. À quelle plage de fréquences correspond le domaine audible ?
2. Calculer la taille de l’antenne qui serai nécessaire sans modulation.
   • L’onde transmise est-elle une onde électromagnétique ou une onde sonore ? Quelle est la célérité d’une telle onde ?
   • Quelle sont les fréquences comprises dans un signal audio ?
3. Exprimer [latex]v_s(t)[/latex] en fonction de [latex]v_e(t)[/latex] et [latex]v_{p}(t)[/latex].
4. Dans le cas où [latex]v_{e}(t)[/latex] est sinusoïdal ([latex]v_{e}(t)=A_{e}\cos(2\pi f_{e}t)[/latex]), quelle valeur faut-il choisir pour [latex]k[/latex] ?
   • Tracer l’allure signal modulé en fonction du temps.
   • Que valent le maximum et le minimum de l’enveloppe du signal modulé.
5. Toujours pour [latex]v_{e}[/latex] sinusoïdal, tracer le spectre du signal modulé [latex]v_{s}(t)[/latex] dans ce cas particulier.
   • Linéariser l’expression de [latex]v_{s}(t)[/latex]. Chaque terme de la somme correspond à un « pic » sur le spectre.
6. On suppose maintenant que [latex]v_e(t)[/latex] est un signal audio. Tracer un spectre possible de [latex]v_e[/latex]. Tracer alors le spectre de [latex]v_s[/latex] en prenant [latex]f_p=\SI{520}{kHz}[/latex].
7. Les ondes moyennes s’étendent de \SI{520}{kHz} à \SI{1620}{kHz}. Combien de canaux audios peuvent être émis sur cette bande.
   • À partir de la question précédente, quel « espace » prend un canal ?

2 – Summing amplifier

1. Ascertain the expression of [latex]V_{-}[/latex] as a function of [latex]v_1[/latex] and [latex]v_2[/latex] and [latex]v_s[/latex].
   • Utiliser la loi des nœuds en termes de potentiels à l’entrée inverseuse de l’ALI.
   • Écrire la loi des nœuds à l’entrée de l’ALI. Remplacer chacun des courants par son expression à partir de la loi d’Ohm.
   • Quelle différence de potentiel y a-t-il aux bornes de chaque résistor (en fonction de [latex]v_1[/latex], [latex]v_2[/latex], [latex]v_s[/latex] et [latex]V_{-}[/latex]) ?
2. Deduce an expression of [latex]v_s[/latex] as a function of [latex]v_1[/latex] and [latex]v_2[/latex].
   • Que peut-on dire de [latex]V_{-}[/latex] ?
   • Le montage est-il stable ou instable ?
   • Que vaut l’entrée différentielle de l’ALI ?
3. Under which condition does [latex]v_s=-(v_1+v_2)[/latex].
4. The aim is to have [latex]{v_s}_2=v_1+v_2[/latex]. Which transfer function needs to be placed after the previous system to obtain [latex]{v_s}_2[/latex] ? Suggest an electronic assembly that would have this transfer function.
   • Parmi les montages vus, lequel a une fonction de transfert indépendante de [latex]j\omega[/latex] et négative ?
   • La fonction de transfert d’un amplificateur inverseur est [latex]\underline{H}(j\omega)=-\frac{R_2}{R_1}[/latex].

3 – Démodulation synchrone

1. Représenter qualitativement les spectres de [latex]s_{AM}(t)[/latex], [latex]s_p(t)[/latex], [latex]s_i(t)[/latex] et [latex]s(t)[/latex].
2. Proposer des valeurs réalistes pour [latex]R[/latex] et [latex]C[/latex] afin que le signal démodulé [latex]s(t)[/latex] s’approche convenablement du signal modulant.
   • Dans quelles plages de fréquence peut-on choisir [latex]R[/latex] et [latex]C[/latex] en TP ?
   • Quelles relations (supérieur, inférieur, très petit devant ou très grand devant) doit vérifier la fréquence de coupure du filtre passe-bas ?

4 – Démodulation par détection d’enveloppe

1. Montrer que lorsque la diode est passante (i.e. qu’elle se comporte comme un fil) [latex]s(t)=e(t)[/latex].
   • Redessiner le schéma en remplaçant la diode par un fil.
   • Quelle est la différence de potentiel aux bornes d’un fil ?
2. Déterminer l’équation différentielle vérifiée sur [latex]s(t)[/latex] lorsque la diode est bloquée (i.e. qu’elle se comporte comme un interrupteur ouvert). Quelles sont les formes des solutions ? On ne cherchera pas à déterminer la constante.
   • Redessiner le schéma en remplaçant la diode par un interrupteur ouvert.
   • Introduire le courant passant dans le circuit.
   • En utilisant la relation entre tension et courant pour un condensateur et la loi d’Ohm, obtenir l’équation différentielle demandée.
3. En utilisant le fait que la diode est passante lorsque [latex]i>0[/latex] et bloquée lorsque [latex]s(t)>e(t)[/latex], tracer l’allure de la sortie pour les deux signaux suivants. On supposera que [latex]RC[/latex] est très grand devant la période du signal modulant et très petit devant celle de la porteuse.
   • [latex]e[/latex] ne peut pas être plus grand que [latex]s[/latex]. Lorsque [latex]e[/latex] est plus petit que [latex]s[/latex], [latex]s[/latex] décroit exponentiellement.
   • Lorsque [latex]e[/latex] augmente, [latex]s[/latex] le suit. Lorsque [latex]e[/latex] diminue, [latex]s[/latex] décroit doucement.
   • [latex]s[/latex] suit approximativement l’enveloppe de [latex]e[/latex].
4. Lequel des deux signaux sera correctement démodulé ?
   • D’après l’énoncé (première ligne), quelle est la forme du signal à transmettre ?

1 – Oscillateur à filtre RLC

1. Déterminer la fonction de transfert [latex]H(p)=\dfrac{S(p)}{E(p)}[/latex] du filtre RLC-série.
   • Déterminer l’impédance équivalente de [latex]L[/latex], [latex]r[/latex] et [latex]C[/latex] en série puis utiliser un pont diviseur de tension.
2. Donner la fonction de transfert du montage amplificateur non-inverseur.
3. À quelle condition observe-t-on des oscillations quasi-sinusoïdales ?
   • Utiliser les deux fonctions de transfert des questions précédentes.
   • Remplacer [latex]E(p)[/latex] dans la fonction de transfert du filtre en utilisant la fonction de transfer de l’amplificateur non-inverseur puis éliminer [latex]E(p)[/latex]
   • Éliminer les traits de fraction puis prendre la partie réelle et la partie imaginaire.
4. Quelle est l’amplitude de [latex]e(t)[/latex] ? Quelle est celle de [latex]s(t)[/latex] ?
   • Qu’est-ce qui limite l’amplitude des oscillations ?
   • Quelle est l’amplitude maximale de la tension de sortie d’un ALI ?
   • Utiliser une des fonctions de transfert pour relier les amplitudes de [latex]s[/latex] et de [latex]e[/latex].
5. Laquelle de ces deux tensions est la << plus sinusoïdale >> ?
   • Est-ce le filtre passe bande ou l’ALI qui a tendance à « purifier » le spectre ?
6. À quelle condition les oscillations démarrent-elles ?
   • Établir une équation différentielle portant sur [latex]e[/latex] ou [latex]s[/latex].
   • Combiner les fonctions de transfert pour éliminer [latex]E[/latex] ou [latex]S[/latex], supprimer les traits de fraction puis passer en temporel.

2 – Oscillateur à décharge de condensateur

1. Identifier le filtre passif inclus dans ce montage. Quelle est sa fonction de transfert ? Quelle est l’équation différentielle associée ?
   • Le montage est constitué d’un comparateur à hystérésis et d’un filtre qu’il s’agit d’identifier.
   • Le filtre RC-série est-il un filtre passe-haut ou passe-bas ? Quelle est la forme canonique d’une fonction de transfer de ce type ?
2. Résoudre cette équation différentielle en supposant [latex]V_s[/latex] constant.
3. Quel montage de l’ALI reconnait-on dans ce montage ? Donner sa caractéristique [latex](V_s,V_-)[/latex].
   • En cas d’hésitation entre comparateur à hystérésis positif et négatif, regarder où se fait l’entrée.
4. En supposant qu’à [latex]t=0[/latex], [latex]V_s=+V_\text{sat}[/latex] et [latex]V_-=[/latex], tracer [latex]V_-(t)[/latex] et [latex]V_s(t)[/latex].
   • Tracer [latex]V_-(t)[/latex] en supposant que [latex]V_s(t)=+V_\text{sat}[/latex]. Jusqu’à quand ce tracé reste-t-il valable ?
   • À quelle condition [latex]V_s[/latex] passe-t-il de [latex]+V_\text{sat}[/latex] à [latex]-V_\text{sat}[/latex] ?
5. Que vaut la période des signaux produits ?
   • Déterminer la demi-période, c’est-à-dire le temps nécessaire pour que [latex]V_-[/latex] passe de [latex]\frac{R_2}{R_1+R_2}V_\text{sat}[/latex] à [latex]\frac{R_2}{R_1+R_2}V_\text{sat}[/latex].
   • Résoudre complètement (constante comprise) l’équation différentielle vérifiée par [latex]V_-[/latex] sur une demi période. On pourra appeler [latex]t_1[/latex] le début de cette demi-période et [latex]t_2[/latex] sa fin.

3 – Oscillateur à résistance négative

1. Déterminer une relation entre la tension [latex]u[/latex] et la tension de sortie de l’ALI.
   • Le montage est-il stable ? Que peut-on dire de l’entrée différentielle [latex]\epsilon[/latex] ?
   • À l’aide d’un pont diviseur de tension entre les résistances [latex]R_1[/latex] et d’une loi des mailles, relier l’entrée différentielle [latex]\epsilon[/latex] à [latex]u[/latex] et la sortie de l’ALI.
2. En utilisant la loi d’Ohm, en déduire l’impédance d’entrée du montage [latex]Z_e=\frac{\underline{u}}{\underline{i}}[/latex].
   • Écrire la loi d’Ohm dans la résistance [latex]R[/latex].
   • Utiliser la fonction de transfer de la question précédente pour éliminer la tension de sortie de l’ALI dans la loi d’Ohm.
3. Déterminer une équation différentielle sur [latex]i[/latex].
   • Appliquer la loi des mailles et utiliser les caractéristiques de différents composants.
   • Dériver la loi des mailles et utiliser que [latex]u_L=-L\frac{di}{dt}[/latex], [latex]i_c=-C\frac{di}{dt}[/latex], [latex]u_r=-Ri[/latex] et [latex]u=Z_ei[/latex].
4. Sous quelles conditions sur la valeur de [latex]R[/latex] les oscillations démarrent-elles ?
   • A quelle condition les solutions de l’équation différentielle précédente divergent-elles ?

4 – Hartley oscillator

1. Using Kirchhoff’s nodal rule in [latex]A[/latex], express its potential as a function of the voltages [latex]e[/latex] and [latex]s[/latex].
   • Si la relation des nœuds en tension n’est pas connue, appliquer la loi des nœuds et remplacer chaque courant en faisant apparaitre une tension grâce à la loi d’Ohm (en complexes) dans [latex]R[/latex], [latex]L[/latex] et [latex]C[/latex].
2. Ascertain [latex]s[/latex] as a function of the potential in [latex]A[/latex] thanks to the voltage diviser law. With the help of the previous question, determine the transfer function of the Hartley filter.
3. Which operational amplifier assembly can be recognized ? Give its transfer function without any demonstration.
   • Pour reconnaitre le montage à ALI, celui-ci est-il stable ou instable ? L’entrée est-elle « côté » borne inverseuse ou non-inverseuse ?
4. Under which condition do the oscillations \textbf{start} ?
   • Obtenir une équation différentielle portant sur [latex]s[/latex] ou sur [latex]e[/latex].
   • Transformer la fonction de transfert du filtre de Hartley en une équation différentielle sur [latex]s[/latex] et [latex]e[/latex]. Remplacer l’un des deux en utilisant la relation entrée-sortie d’un amplificateur non-inverseur.
   • Les solutions de l’équation différentielle doivent-elles converger ou diverger pour que les oscillations démarrent.
5. How sinusoidal oscillations can be obtained ? What will be their frequency ?
   • En partant de la fonction de transfert du filtre de Hartley, éliminer [latex]E[/latex] et [latex]S[/latex].
   • Éliminer les fractions de l’équation ainsi obtenue et en prendre partie réelle et partie imaginaire.
6. What is the amplitude of [latex]e[/latex] ? What is the one of [latex]s[/latex] ?
   • Quelles sont les amplitudes de [latex]e[/latex] et [latex]s[/latex] ?
   • Qu’est-ce qui limite l’amplitude des oscillations ?
7. Which voltage will be the most sinusoidal ?
   • Est-ce l’amplificateur non-inverseur ou le filtre de Hartley qui « purifie » le spectre de son entrée ?

1 – Montage suiveur

1. L’ALI a-t-il un fonctionnement stable ou instable ?
   • Y a-t-il une rétroaction ? Est-elle positive ou négative ?
2. Exprimer la fonction de transfert du montage. Justifier le nom du montage.
   • Que peut-on dire de l’entrée différentielle si le montage est stable ?
   • Exprimer la tension de sortie en fonction de la tension d’entrée.
3. Exprimer l’impédance d’entrée du montage.
   • Que vaut le courant d’entrée ?

2 – Montage amplificateur inverseur

1. L’ALI a-t-il un fonctionnement stable ou instable ?
   • Y a-t-il une rétroaction ? Est-elle positive ou négative ?
2. Exprimer la fonction de transfert du montage. Justifier le nom du montage.
   • Que peut-on dire de l’entrée différentielle si le montage est stable ?
   • Utiliser le pont diviseur de tension pour relier l’entrée du montage, l’entrée différentielle et la sortie.
   • Exprimer la tension de sortie en fonction de la tension d’entrée.
3. Exprimer l’impédance d’entrée du montage.
   • Exprimer la tension aux bornes de R1 en fonction de l’entrée du montage et de l’entrée différentielle grâce à une loi des mailles.
   • Utiliser la loi d’Ohm dans la résistance R1.

3 – Montage intégrateur

1. L’ALI a-t-il un fonctionnement stable ou instable ?
   • Y a-t-il une rétroaction ? Est-elle positive ou négative ?
2. Exprimer la fonction de transfert du montage. Tracer le diagramme de Bode.
   • Passer en notations complexes et utiliser l’impédance du condensateur.
   • Utiliser le pont diviseur de tension pour relier l’entrée du montage, l’entrée différentielle et la sortie.
   • Pas besoin d’utiliser des équivalents haute et basse fréquence car la fonction de transfert est suffisamment simple.
3. À partir de la fonction de transfert, déterminer l’équation différentielle vérifiée par la tension de sortie et la tension d’entrée. Justifier le nom du montage.
   • Exprimer la tension de sortie en fonction de l’entrée dans le domaine de Laplace ou fréquentiel puis passer en temporel.

4 – Montage comparateur simple

1. L’ALI a-t-il un fonctionnement stable ou instable ?
   • Y a-t-il une rétroaction ?
2. Dresser la caractéristique [latex](V_s, V_{e})[/latex] du montage. Justifier le nom du montage.
   • A quelle condition sur l’entrée différentielle la sortie est-elle égale à Vsat ? à -Vsat ?
   • A quelle condition sur l’entrée Ve la sortie est-elle égale à Vsat ? à -Vas ?
3. Quelle est l’impédance d’entrée du montage.
   • Que vaut le courant d’entrée ?

5 – Dérivateur

1. L’ALI a-t-il un fonctionnement stable ou instable ?
   • Y a-t-il une rétroaction ? Est-elle positive ou négative ?
2. Exprimer la fonction de transfert du montage. Tracer le diagramme de Bode.
   • Passer en notations complexes et utiliser l’impédance du condensateur.
   • Utiliser le pont diviseur de tension pour relier l’entrée du montage, l’entrée différentielle et la sortie.
   • Pas besoin d’utiliser des équivalents haute et basse fréquence car la fonction de transfert est suffisamment simple.
3. À partir de la fonction de transfert, déterminer l’équation différentielle vérifiée par la tension de sortie et la tension d’entrée. Justifier le nom du montage.
   • Exprimer la tension de sortie en fonction de l’entrée dans le domaine de Laplace ou fréquentiel puis passer en temporel.

6 – Simulateur d’impédance

1. Déterminer la fonction de transfert du montage.
   • Relier le potentiel de l’entrée inverseuse à la sortie. Relier le potentiel de l’entrée non-inverseuse à l’entrée.
   • Relier le potentiel de l’entrée inverseuse à la sortie grâce à un pont diviseur de tension entre R’ et 2R’. Relier le potentiel de l’entrée non-inverseuse à l’entrée grâce à un pont diviseur de tension entre C et 2R.
   • Que vaut la différence de potentiel entre entrée inverseuse et entrée non inverseuse de l’ALI pour un montage stable ?
2. Déterminer l’impédance d’entrée du montage. Démontrer que cette impédance est équivalente à celle d’une bobine réelle dont on précisera l’inductance [latex]L[/latex] et la résistance [latex]r[/latex].
   • Déterminer le courant passant par R et par C.
   • Utiliser la loi d’Ohm dans R et éliminer s pour relier courant dans R et entrée e.
   • Utiliser la loi d’Ohm dans le dipôle formé par C et 2R pour relier le courant dans C et l’entrée e.
   • Utiliser la loi des nœuds pour relier courant d’entrée et tension d’entrée.
   • Mettre l’impédance d’entrée sous la forme r+jLw avec r et L à trouver.

7 – Compétition de rétroactions

1. Établir la fonction de transfert du système.
   • Grâce à un pont diviseur de tension, relier le potentiel de l’entrée inverseuse à s et e.
   • Grâce à un pont diviseur de tension, relier le potentiel de l’entrée non-inverseuse à s.
   • À partir des deux ponts diviseurs de tension, relier l’entrée différentielle à s et e.
   • Utiliser la fonction de transfert de l’ALI pour éliminer l’entrée différentielle de l’équation.
2. Sous quelle condition sur [latex]k[/latex] le système est-il stable ?
   • Regrouper les termes de même ordre du dénominateur de la fonction de transfert. Comparer leur signe.

1 – Étude de fonctions de transfert

1. [latex]H=\dfrac{p}{1+p}[/latex]
2. [latex]H=\dfrac{p^2}{1-p+p^2}[/latex]
3. [latex]H=\dfrac{1}{1+jQ(\omega/\omega_0-\omega_0/\omega)}[/latex]

2 – Filtres et fonctions de transfert

1. Proposer deux circuits électroniques différents réalisant un filtre passe-haut du premier ordre.
   • Proposer un circuit avec un résistor et un condensateur et un autre avec un résistor et une bobine.
   • Utiliser les équivalents haute et basse fréquence pour savoir comment les agencer.
2. Donner (sans les redémontrer) les fonctions de transfert des ces deux circuits.
   • Utiliser la forme canonique (connue) de la fonction de transfert d’un filtre passe-bas d’ordre 1.
   • Utiliser l’analyse dimensionnelle pour écrire une expression homogène.
3. Ces deux circuits sont-ils stables ?

3 – Oscillateur RLC

1. Établir l’équation différentielle vérifiée par le courant [latex]i[/latex].
   • Passer en complexes puis écrire la loi des mailles.
2. Sous quelle condition sur [latex]\alpha[/latex] le système est-il stable.
   • Regrouper les termes de l’équation différentielle en fonction de leur ordre.