Catégorie : PSI

1 – Orage

1. Faire un schéma et expliqué pourquoi les électrons de ce courant sont soumis à une force magnétique de Lorentz. Quel est son sens ?
   • Quelle est la direction de la vitesse des électrons ? Quelle est la direction du champ magnétique créé par le courant ?
2. Exprimer le vecteur densité volumique de courant [latex]\vec{j}[/latex].
   • Relier le courant à [latex]\vec{j}[/latex]. Utiliser le fait que [latex]\vec{j}[/latex] est uniforme dans le cylindre.
3. Déterminer [latex]\vec{B}[/latex] au niveau du bord du conduit et exprimer la norme de cette force magnétique par unité de volume en fonction de [latex]I[/latex] et [latex]a[/latex].
   • Effectuer les 4 étapes : analyse des invariances, analyse des symétries, choix de la courbe d’Ampère, théorème d’Ampère.
   • On demande [latex]\vec{B}[/latex] seulement au bord du cylindre (en [latex]r=a[/latex]).
4. Le sens de la force change-t-il si le courant est descendant ?
   • Quel serait alors le sens de la vitesse des électrons ? Quel serait alors le sens du champ magnétique ?
5. Faire l’application numérique de cette force et la comparer au poids volumique de l’air. Pourquoi les éclairs causent-ils le tonnerre\footnote{L’éclair est le résulultat visible du passage du courant tandisque le tonnerre est le son produit} ?
   • Relier le poids volumique de l’air à la masse volumique de l’air.
   • La masse volumique de l’air est [latex]\rho_\text{air}=1kg.m^{-3}[/latex].
   • Que peut-il se produire si l’air est subitement soumis à une force très intense ?

2 – Bobine torique

1. Faire un schéma du système.
2. Montrer que le champ magnétique qui règne en un point [latex]M(r,z)[/latex] quelconque à l’intérieur du tore peut s’exprimer sous la forme [latex]B=\frac{\mu_0nI}{2\pi r}[/latex].
   • Effectuer les 4 étapes : analyse des invariances, analyse des symétries, choix de la courbe d’Ampère, théorème d’Ampère.
3. Déterminer le flux [latex]\Phi[/latex] du champ magnétique à travers la surface d’\textbf{une} spire dont la normale est orientée dans le sens du champ.
   • Représenter la surface sur le schéma.
   • Selon quelles variables faut-il intégrer ? Entre quelles bornes ?
   • Quelle est l’expression d’un élément de surfaces orienté selon [latex]\vec{e_\theta}[/latex]

3 – Câble coaxial

1. Montrer que le champ magnétique [latex]\vec{B}[/latex] créé au point [latex]M[/latex] est orienté selon [latex]\vec{e_\theta}[/latex].
2. Montrer qu’il peut se mettre sous la forme [latex]\vec{B}=B(r)\vec{u_\theta}[/latex].
3. Préciser alors la forme des lignes de champ.
   • Les lignes de champ sont en tout point colinéaires à [latex]\vec{B}[/latex].
4. Montrer que le champ magnétique créé au point [latex]M[/latex] est nul si [latex]r>R_3[/latex].
   • Quel est le courant enlacé dans ce cas ?
5. Calculer les densités de courant [latex]\vec{j_1}[/latex] et [latex]\vec{j_2}[/latex], respectivement dans le conducteur central et du conducteur périphérique en fonction des courants [latex]I[/latex] et [latex]-I[/latex] et des rayons [latex]R_1[/latex], [latex]R_2[/latex] et [latex]R_3[/latex].
   • Quelle est l’aire du disque de rayon [latex]R_1[/latex] ? Quelle est l’aire du disque percé situé entre [latex]R_2[/latex] et [latex]R_3[/latex] ?
   • Relier le courant électrique et la densité volumique de courant [latex]j[/latex].
6. En appliquant le théorème d’Ampère à un contour [latex]\mathcal{C}[/latex] que l’on précisera, donner l’expression de la composante [latex]B(r)[/latex] du champ magnétique créé au point [latex]M[/latex] en fonction de [latex]\mu_0[/latex], [latex]I[/latex], [latex]r[/latex], [latex]R_1[/latex], [latex]R_2[/latex], et [latex]R_3[/latex] dans chacun des cas suivants : [latex]r
7. La courbe d’Ampère doit être choisie de sorte que [latex]\vec{dl}[/latex] soit colinéaire à [latex]\vec{B}[/latex] afin de simplifier les calculs.
8. Tracer l’allure du graphe de [latex]B(r)[/latex].

4 – Mesure du champ magnétique terrestre

1. Calculer la composante normale du champ magnétique terrestre.
   • Faire un schéma.
   • Exprimer le champ magnétique créé par le solénoïde, puis le champ total.

1 – Electric field ans potentiel created by a uniformly charged ball

1. Ascertain the electric field and then the electric potential in every point of space. The electric potential is taken null far away from the ball.
   • Il faut d’abord exprimer le champ électrique puis déterminer le potentiel électrique.
   • Effectuer les 4 étapes : analyse des invariances, analyse des symétries, choix de la surface de Gauss, théorème de Gauss.
   • Pour exprimer la charge intérieure, il est nécessaire de distinguer les cas.
   • Une fois le champ électrique exprimé, utiliser la relation [latex]\vec{E}=-\vec{\text{grad}}V[/latex] pour trouver [latex]V[/latex].
   • L’analyse des symétries et des invariances permet de simplifier l’expression de [latex]\vec{\text{grad}}V[/latex] donnée dans l’énoncé.
   • Déterminer d’abord la constante d’intégration dans le cas [latex]r\gt R[/latex] puis trouver celle dans l’autre cas par continuité de [latex]V[/latex] en [latex]R[/latex].
   • La constante d’intégration peut être déterminée grâce au fait que [latex]V(r)[/latex] est nul très lion de la boule.
2. Plot [latex]E(r)[/latex] ans [latex]V(r)[/latex] as a function of [latex]r[/latex].

2 – Champ de gravitation

1. Calculer numériquement les valeurs de [latex]\mu_0[/latex] et [latex]a[/latex].
   • La masse volumique de la planète et la masse volumique des roches superficielles donnent deux équations qui permettent de trouver [latex]\mu_0[/latex] et [latex]a[/latex].
   • Comment la masse totale de la planète s’exprime-t-elle en fonction d’une intégrale de [latex]\mu(r)[/latex] ?
2. Établir l’expression littérale du champ de gravitation créé par la planète dans tout l’espace.
   • Effectuer les 4 étapes : analyse des invariances, analyse des symétries, choix de la surface de Gauss, théorème de Gauss.
3. Pour quel rayon le champ de gravitation est-il maximal à l’intérieur de la planète ? L’exprimer en fonction de [latex]R[/latex].
   • Dériver [latex]g(r)[/latex] pour trouver son extrémum.

3 – Dipôle électrostatique

1. Déterminer le potentiel électrique créé par chacune des charges en fonction de [latex]d[/latex] et [latex]d'[/latex], en supposant celui-ci nul à l’infini. En déduire le potentiel électrique créé par le dipôle constitué des deux charges.
   • Quel est le champ électrique créé par une particule ponctuelle chargée à l’origine du repère ? Quel est le potentiel électrique associé ?
2. Dans l’approximation où [latex]r>>a[/latex], montrer que l’expression du potentiel électrique total s’écrit [latex display= »true »]V(M)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0r^2}\vec{d}.\vec{e_r}[/latex] où on exprimera [latex]\vec{d}[/latex]. Le vecteur [latex]\vec{d}[/latex] est appelé moment dipolaire, à ne pas confondre avec la distance [latex]d[/latex].
   • Utiliser le théorème de superposition et faire le développement limité de [latex]V[/latex] au premier ordre non nul.
   • Utiliser la relation de Chasles pour relier [latex]d[/latex] et [latex]d'[/latex] à [latex]r[/latex].
3. En déduire l’expression du champ électrique dans la même approximation.
   • Utiliser la relation entre [latex]v[/latex] et [latex]\vec{E}[/latex] et la définition fournie du gradient en coordonnées sphériques.

4 – Condensateur cylindrique

1. Que signifie << négliger les effets de bord >> ?
2. Établir l’expression du champ électrique en tout point de l’espace.
   • Effectuer les 4 étapes : analyse des invariances, analyse des symétries, choix de la surface de Gauss, théorème de Gauss.
3. Établir l’expression de la différence de potentiel entre les deux armatures.
   • Utiliser l’expression de la circulation de [latex]\vec{E}[/latex] entre deux points placés sur l’un et l’autre des cylindres.
4. En déduire l’expression de la capacité du condensateur cylindrique.

5 – Total Recall : Mémoires programmées

1 – Modulation d’amplitude

1. À quelle plage de fréquences correspond le domaine audible ?
2. Calculer la taille de l’antenne qui serai nécessaire sans modulation.
   • L’onde transmise est-elle une onde électromagnétique ou une onde sonore ? Quelle est la célérité d’une telle onde ?
   • Quelle sont les fréquences comprises dans un signal audio ?
3. Exprimer [latex]v_s(t)[/latex] en fonction de [latex]v_e(t)[/latex] et [latex]v_{p}(t)[/latex].
4. Dans le cas où [latex]v_{e}(t)[/latex] est sinusoïdal ([latex]v_{e}(t)=A_{e}\cos(2\pi f_{e}t)[/latex]), quelle valeur faut-il choisir pour [latex]k[/latex] ?
   • Tracer l’allure signal modulé en fonction du temps.
   • Que valent le maximum et le minimum de l’enveloppe du signal modulé.
5. Toujours pour [latex]v_{e}[/latex] sinusoïdal, tracer le spectre du signal modulé [latex]v_{s}(t)[/latex] dans ce cas particulier.
   • Linéariser l’expression de [latex]v_{s}(t)[/latex]. Chaque terme de la somme correspond à un « pic » sur le spectre.
6. On suppose maintenant que [latex]v_e(t)[/latex] est un signal audio. Tracer un spectre possible de [latex]v_e[/latex]. Tracer alors le spectre de [latex]v_s[/latex] en prenant [latex]f_p=\SI{520}{kHz}[/latex].
7. Les ondes moyennes s’étendent de [latex]\SI{520}{kHz}[/latex] à [latex]\SI{1620}{kHz}[/latex]. Combien de canaux audios peuvent être émis sur cette bande.
   • À partir de la question précédente, quel « espace » prend un canal ?

2 – Summing amplifier

1. Ascertain the expression of [latex]V_{-}[/latex] as a function of [latex]v_1[/latex] and [latex]v_2[/latex] and [latex]v_s[/latex].
   • Utiliser la loi des nœuds en termes de potentiels à l’entrée inverseuse de l’ALI.
   • Écrire la loi des nœuds à l’entrée de l’ALI. Remplacer chacun des courants par son expression à partir de la loi d’Ohm.
   • Quelle différence de potentiel y a-t-il aux bornes de chaque résistor (en fonction de [latex]v_1[/latex], [latex]v_2[/latex], [latex]v_s[/latex] et [latex]V_{-}[/latex]) ?
2. Deduce an expression of [latex]v_s[/latex] as a function of [latex]v_1[/latex] and [latex]v_2[/latex].
   • Que peut-on dire de [latex]V_{-}[/latex] ?
   • Le montage est-il stable ou instable ?
   • Que vaut l’entrée différentielle de l’ALI ?
3. Under which condition does [latex]v_s=-(v_1+v_2)[/latex].
4. The aim is to have [latex]{v_s}_2=v_1+v_2[/latex]. Which transfer function needs to be placed after the previous system to obtain [latex]{v_s}_2[/latex] ? Suggest an electronic assembly that would have this transfer function.
   • Parmi les montages vus, lequel a une fonction de transfert indépendante de [latex]j\omega[/latex] et négative ?
   • La fonction de transfert d’un amplificateur inverseur est [latex]\underline{H}(j\omega)=-\frac{R_2}{R_1}[/latex].

3 – Démodulation synchrone

1. Représenter qualitativement les spectres de [latex]s_{AM}(t)[/latex], [latex]s_p(t)[/latex], [latex]s_i(t)[/latex] et [latex]s(t)[/latex].
2. Proposer des valeurs réalistes pour [latex]R[/latex] et [latex]C[/latex] afin que le signal démodulé [latex]s(t)[/latex] s’approche convenablement du signal modulant.
   • Dans quelles plages de fréquence peut-on choisir [latex]R[/latex] et [latex]C[/latex] en TP ?
   • Quelles relations (supérieur, inférieur, très petit devant ou très grand devant) doit vérifier la fréquence de coupure du filtre passe-bas ?

4 – Démodulation par détection d’enveloppe

1. Montrer que lorsque la diode est passante (i.e. qu’elle se comporte comme un fil) [latex]s(t)=e(t)[/latex].
   • Redessiner le schéma en remplaçant la diode par un fil.
   • Quelle est la différence de potentiel aux bornes d’un fil ?
2. Déterminer l’équation différentielle vérifiée sur [latex]s(t)[/latex] lorsque la diode est bloquée (i.e. qu’elle se comporte comme un interrupteur ouvert).
   • Redessiner le schéma en remplaçant la diode par un interrupteur ouvert.
   • Introduire le courant passant dans le circuit.
   • En utilisant la relation entre tension et courant pour un condensateur et la loi d’Ohm, obtenir l’équation différentielle demandée.
3. On utilise Python pour simuler l’évolution de [latex]s(t)[/latex] pour deux signaux de taux de modulation différents. Se rendre sur Capytale (code \texttt{0b1c-7216837}) et compléter le code.
4. Lequel des deux signaux sera correctement démodulé ?

5 – Taux de modulation

1. Mesurer le taux de modulation du signal ci-dessous.
   • Quelles sont les valeurs maximale et minimale de la modulante ?
   • Comment les valeurs extrémales de la modulante sont reliées au taux de modulation ?

6 – Thérémine

1. Exprimer [latex]C_2[/latex] en fonction de [latex]C_1[/latex] et [latex]C'[/latex].
   • Faire un schéma des deux condensateurs en parallèle.
   • Écrire la loi des nœuds puis la relation tension-courant pour [latex]C_1[/latex] et [latex]C'[/latex].
2. En supposant [latex]C’\ll C_1[/latex], quelle est la fréquence la plus petite contenue dans le spectre de [latex]s[/latex] ? Elle sera exprimée en fonction de [latex]R_a[/latex], [latex]R_b[/latex], [latex]R[/latex], [latex]C_1[/latex] et [latex]C'[/latex].
   • Compte tenu de l’approximation, que peut-on dire des fréquences [latex]\frac{1}{T_1}[/latex] et [latex]\frac{1}{T_2}[/latex] ?
   • Représenter les spectres des tensions de sortie des deux oscillateurs.
3. Quel montage faut-il placer après [latex]s[/latex] pour isoler cette fréquence ? On notera [latex]s'(t)[/latex] la sortie de ce filtre.
   • Quel filtre laisse passer les basses fréquence et coupe les hautes fréquences ?
   • Comment peut-on réaliser ce montage avec un condensateur et un résistor ?
4. Quelle valeur doit avoir [latex]C_1[/latex] pour que la fréquence du signal en sortie varie entre [latex]0[/latex] et [latex]\SI{2}{kHz} ?[/latex]

7 – J’explique à ma grand-mère

1. Comment peut-on diffuser plein de stations de radio sur les ondes sans qu’elles se mélangent et comment fait mon poste de radio pour sélectionner celle que je veux écouter ?