Catégorie : PSI

1 – Étamage

1. Le potentiel standard du couple [latex]\ce{H+/H2(g)}[/latex] n’est pas donné, pourquoi ?
   • Quelle origine a été choisie pour les potentiels électriques en électrochimie ?
2. Compléter le schéma de la figure, en précisant la polarité du générateur ainsi que le sens de passage du courant. Qualifier chaque électrode du terme << anode >> ou << cathode >>.
   • Dans quel sens se déplacent les électrons ? Quelle réaction se produit à l’électrode où arrivent les électrons ? A celle d’où ils partent ?
   • L’idée de l’étamage est de déposer de l’étain sur du fer. En déduire quelle électrode a quelle nature.
3. Un petit dégagement gazeux est observé au niveau de l’électrode en fer. Quel est-il ?
   • Quelle espèce présente dans la solution peut produire un gaz par oxydation et réduction ?
   • La réaction a-t-elle lieu à l’anode ou à la cathode ? Est-ce une oxydation ou une réduction ? S’agit-il donc de la formation de [latex]\ce{O2}[/latex] ou [latex]\ce{H2}[/latex] ?
4. Écrire les échanges électroniques au niveau de chaque électrode et représenter les courbes intensité-potentiel correspondant à ces échanges.
   • Le fer réagit-il ?
   • Représenter la courbe i-E de l’étain. Possède-t-elle des surpotentiels ? Un ou des paliers de saturation ?
   • Tracer le mur du solvant en prenant en compte le surpotentiel indiqué.
5. Exprimer puis calculer la masse [latex]m[/latex] d’étain maximale déposée sur le fer, sachant que l’intensité totale du courant est [latex]i = \SI{1,0}{A}[/latex] et que l’électrolyse est arrêtée au bout de [latex]\SI{4}{min}[/latex].
   • Intégrer la relation entre courant électrique et vitesse de réaction.
6. En réalité, la masse mesurée est [latex]\SI{0.12}{g}[/latex]. Calculer le rendement Faradique.

2 – Étude du zinc

1. À l’aide de la figure, justifier le procédé de purification en écrivant les équations bilans des différentes réactions qui ont lieu. Sous quelles formes sont alors les impuretés ? Comment peut-on les éliminer ?
   • Quelle réaction se produira si on met en contact du zinc solide et une solution contenant des ions [latex]\ce{Cd2+}[/latex] ? Raisonner de même pour [latex]\ce{Ni2+}[/latex] et [latex]\ce{Cu2+}[/latex]
2. Nous considérerons dans la suite que les ions sulfate ne participent à aucune réaction. D’un point de vue thermodynamique, quelles sont les réactions qui peuvent avoir lieu à la cathode ? À l’anode ? En déduire la réaction d’électrolyse attendue. Quelle différence de potentiel devrait-on appliquer ?
   • Lister tous les réducteurs présents et les couples associés. Quelle(s) réaction(s) peuvent se produire à l’anode ? Même question pour la cathode.
   • En comparant les potentiels de Nernst des différents couples, quelle réaction est la plus thermodynamiquement favorable (ou plutôt la moins défavorable puisqu’il s’agit d’une réaction forcée) ?
3. À l’aide de la figure suivante, donner l’équation d’électrolyse qui a réellement lieu. À quoi sont dus ces changements ? Si on impose une densité de courant de \SI{500}{A.m^{-2}}, quelle devrait être la différence de potentiel appliquée aux bornes des électrodes ? Estimer approximativement le rendement faradique associé au dépôt de zinc à la cathode.
   • Quelle réaction devient la plus facile à forcer ?
   • Pourquoi la réaction [latex]\ce{H+ -> H2}[/latex] de démarre pas à [latex]\SI{0}{V}[/latex] ?
   • Quel potentiel faut-il imposer à l’électrode d’aluminium pour que son courant TOTAL soit de [latex]\SI{-500}{A}[/latex] ?
   • Quelle proportion du courant sert alors à la réaction voulue ?

3 – Raffinage électrolytique du cuivre

1. Écrire l’équation-bilan de la réaction qui a lieu. Déterminer sa constante d’équilibre à [latex]\SI{298}{K}[/latex]. Commenter la valeur obtenue.
   • Faire une échelle de potentiel et mettre en évidence les espèces présentes. Quelle est la réaction la plus thermodynamiquement favorable ?
   • Comment l’enthalpie libre standard de réaction est-elle reliée à la différence de potentiels standards ? À la constante de réaction ?
   • Que peut-on dire quand [latex]K^\circ\gg 1[/latex] ?
2. À l’aide des courbes intensité-potentiel, prévoir si cette réaction est rapide ou lente (un schéma est souhaité).
   • Quel unique potentiel permet l’égalité de la somme des courants anodiques et la somme des courants cathodiques ? Ce potentiel permet-il un courant significatif ?
3. Écrire la(les) réaction(s) observée(s) à l’anode. Même question à la cathode.
   • Le potentiel [latex]E_A[/latex] permet-il l’oxydation de [latex]\ce{Pb}[/latex] ? de [latex]\ce{Cu}[/latex] ? de [latex]\ce{Ag}[/latex] ?
   • Parmi les solutés produits, lesquels peuvent être réduits au potentiel [latex]E_C[/latex] ?
4. Expliquer l’intérêt de cette méthode quant à la purification du cuivre.
   • Les impuretés présentes à l’anodes sont-elles reformées à la cathode ?

4 – Corrosion du zinc

1. Quelles sont, à [latex]pH = \SI{6,0}{}[/latex], les valeurs des potentiels d’équilibre des couples [latex]\ce{H+(aq)/H2(g)}[/latex], [latex]\ce{O2(g)/H2O(l)}[/latex] et [latex]\ce{Zn^2+/Zn(s)}[/latex] ?
   • Écrire la relation de Nernst pour chacun des couples ?
2. Écrire la réaction qui peut \textit{a priori} être observée en considérant les valeurs des potentiels d’équilibre.
   • Faire une échelle de potentiels.
3. En fait, aucun dégagement gazeux n’est observé. Expliquer ce constat en calculant le potentiel de début de dégagement gazeux (le potentiel à laquelle la réaction démarre significativement). Tracer l’allure de la courbe [latex]i, E[/latex]. Dans quel domaine de potentiel se situe le potentiel de la tôle ?
   • Pour calculer le potentiel de début de réaction, il faut combiner le potentiel d’équilibre avec le surpotentiel.
   • Existe-t-il des paliers de diffusion ?
   • Dans quel domaine y a-t-il égalité des courants anodique et cathodique ?
4. La tôle est accidentellement rayée, l’acier est mis à nu au fond d’une rayure. La tôle est plongée dans la solution aqueuse désaérée à pH = 6, 0. Déterminer le potentiel d’oxydoréduction du couple [latex]\ce{Fe^2+ /Fe(s)}[/latex] (on prendra les concentrations des espèces solubles contenant du fer égales à [latex]\SI{1e-6}{mol.L^{-1}}[/latex]).
   • Utiliser la relation de Nernst.
5. Représenter l’allure des courbes [latex]i, E[/latex] correspondant aux couples [latex]\ce{Fe^2+/Fe(s)}[/latex] et [latex]\ce{Zn^2+/Zn(s)}[/latex], ainsi que [latex]\ce{H+ -> H2(g)}[/latex] sur [latex]\ce{Fe}[/latex] et sur [latex]\ce{Zn}[/latex]. Écrire les réactions ayant lieu au voisinage de la rayure en identifiant anode et cathode. Expliquer pourquoi la présence de zinc évite l’oxydation du fer.
   • Tracer la courbe [latex]i-E[/latex] sur l’électrode de [latex]\ce{Fe}[/latex] et la superposer à celle sur l’électrode de [latex]\ce{Zn}[/latex].
   • Quel est l’unique potentiel vérifiant l’égalités des courants anodique et cathodique ? Quelles réactions se produisent alors ?

5 – Passivation du métal aluminium

1. Quelle est la formule chimique de l’oxyde d’aluminium (III) ? En déduire l’équation de la réaction électrochimique d’obtention de l’oxyde.
   • Il faut former une molécule neutre contenant des atomes [latex]\ce{Al}[/latex] de nombre d’oxydation III et des atomes [latex]\ce{O}[/latex]. Dans quelles proportions sont [latex]\ce{Al}[/latex] et [latex]\ce{O}[/latex] ?
   • Écrire la demi-équation entre l’oxyde d’aluminium III et l’aluminium solide. L’aluminium est-il oxydé ou réduit ? Quel couple de l’eau faut-il faire intervenir pour avoir une autre demi-équation ?
2. Pour réaliser l’opération, on immerge, dans une solution concentrée d’acide sulfurique, la plaque d’aluminium et une électrode inattaquable, puis on applique une différence de potentielle suffisante pour maintenir une densité de courant de [latex]\SI{1}{A.dm^{-2}}[/latex]. Quelle est l’épaisseur de la couche d’alumine obtenue après [latex]\SI{10}{min}[/latex] d’électrolyse ?
   • Intégrer la relation entre courant et vitesse de réaction pour connaitre l’avancement de la réaction.
   • Relier l’avancement à la masse puis au volume et enfin à l’épaisseur.
3. On lit dans un manuel << Avec une densité de courant de [latex]\SI{150}{A.m^{-2}}[/latex], la couche d'oxyde atteint [latex]\SI{10}{\mu m}[/latex] en [latex]\SI{30}{min}[/latex]. >> Ce résultat est-il en accord avec l’étude théorique précédente ? Sinon quelle explication peut-on proposer ?
   • Reprendre la formule littérale de la question précédente et calculer l’épaisseur de la couche d’alumine.
   • Qu’est-ce qui peut faire que tout le courant ne participe pas à la réaction de passivation de l’aluminium ?

6 – Principe d’une pile à combustible

1. Expliquer le principe de fonctionnement de la pile à combustible décrite ci-dessus en indiquant le nom de chaque électrode ainsi que la réaction dont elle est le siège, la polarité de la pile, le sens conventionnel du courant et le sens de circulation des électrons.
   • Écrire les demi-équations des couples proposés dans les données. En déduire le sens des électrons.
   • L’anode est-elle le siège d’une oxydation ou d’une réduction ?
   • Les électrons sont-ils attirés par la borne positive ou négative ?
2. Quel est le rôle de l’électrolyte ? Écrire la réaction globale de fonctionnement de la pile avec un coefficient stœchiométrique relatif à l’eau égal à 2.
   • L’électrolyte joue le même rôle que le pont salin.
3. En se plaçant dans l’approximation d’Ellingham, montrer que [latex]\Delta_rG^\circ=-570.2 + 0.326 T\unit{kJ.mol^{-1}}[/latex].
   • Calculer l’enthalpie et l’entropie standards de formation à l’aide de la loi de Hess.
4. Exprimer la force électromotrice de la pile (tension à vide) en fonction des potentiels standard des couples redox mis en jeu, de la température [latex]T[/latex] et des pressions partielles [latex]p(\ce{O2})[/latex] et [latex]p(\ce{H2})[/latex] d’alimentation en gaz des électrodes.
   • Exprimer le quotient de réaction en fonction de pressions partielles de [latex]\ce{O2}[/latex] et [latex]\ce{H2}[/latex].
   • Relier l’enthalpie libre de réaction à l’enthalpie libre standard de réaction et au quotient réactionnel.
   • Relier la f.é.m. à l’enthalpie libre de réaction.
5. On se place dans le cas où [latex]p(\ce{O2}) = p(\ce{H2}) = \SI{1}{bar}[/latex]. Calculer la force électromotrice de la pile à [latex]T = \SI{350}{K}[/latex].

7 – Pile au lithium

1. Écrire les réactions intervenant à chaque électrode, en précisant leur nature. En déduire la réaction globale de la pile. Exprimer la force électromotrice théorique initiale (tension à vide) en faisant intervenir les données et les activités des ions [latex]\ce{H+}[/latex] et [latex]\ce{Li+}[/latex]. Pourquoi l’électrolyte n’est-il pas une solution aqueuse ?
   • En utilisant les potentiels standards, l’électrode de lithium est-elle la borne positive ou négative ? Pour une pile, cette borne est-elle une anode ou une cathode ?
   • Écrire les deux demi-équations des couples [latex]\ce{Li+ / Li}[/latex] et [latex]\ce{MnO2 / MnO(OH)}[/latex] puis les combiner pour faire une équation globale.
   • Écrire la relation de Nernst.
   • Faire une échelle de potentiel avec les couples de l’eau et [latex]\ce{Li+ / Li}[/latex]. Quelle réaction se produit spontanément si on place le lithium solide en présence d’eau ?
2. Déterminer la quantité de matière de [latex]\ce{Li}[/latex] disponible, ainsi que la quantité de matière [latex]\ce{n_e}[/latex] d’électrons que peut transférer la pile (on supposera que le réactif limitant est ici le lithium). En déduire la quantité d’électricité [latex]Q[/latex] (exprimée en C puis en [latex]\SI{}{A.h}[/latex]) qu’elle peut fournir. On indique [latex]\SI{1}{A.h}[/latex] = [latex]\SI{3600}{C}[/latex].
   • Relier masse, masse molaire et quantité de matière.
   • Combien d’électron l’oxydation d’un atome de lithium permet-elle de faire transiter ?
3. Exprimer la capacité massique [latex]C_m[/latex], c’est-à-dire la quantité maximale d’électricité que peut débiter la pile par kilogramme de lithium. Positionner la capacité massique d’une pile au lithium par rapport à des piles pour lesquelles les capacités massiques (en [latex]\SI{}{A.h.kg^{-1}}[/latex]) s’élèvent respectivement à [latex]480[/latex] ([latex]\ce{Cd}[/latex]), [latex]500[/latex] ([latex]\ce{Zn}[/latex]) ou [latex]820[/latex] ([latex]\ce{Ag}[/latex]).
4. Calculer l’autonomie (en années) de la pile.

8 – Accumulateur au plomb

1. On suppose que l’électrolyte d’un accumulateur au plomb est obtenu en introduisant de l’acide sulfurique [latex]\ce{H2SO4}[/latex] en concentration [latex]c_0=\SI{1}{mol.L^{-1}}[/latex] Placer les domaines de prédominance de [latex]\ce{H2SO4}[/latex], [latex]\ce{HSO4-}[/latex], [latex]\ce{SO4^2-}[/latex] sur un axe de pH. Conclure quant aux concentrations en ion [latex]\ce{H+}[/latex] et [latex]\ce{HSO4-}[/latex] à l’équilibre. En déduire la tension à vide d’un accumulateur.
   • [latex]\ce{H2SO4}[/latex] peut-il exister dans l’eau ? En déduire la concentration minimale de [latex]\ce{H+}[/latex] puis la zone du diagramme de prédominance où on se situe.
   • Écrire l’équation de dissociation de [latex]\ce{H2SO4}[/latex]
2. Écrire la réaction de fonctionnement de la pile lors de la décharge.
   • Combiner les deux demi-équations fournies.
3. De combien de cellules en série la batterie dont les caractéristiques sont de le tableau est constituée ? Quelle est la capacité de chacune d’entre elles ?
   • Quelle est la tension à vide d’une cellule ?
   • Utiliser la relation de Nernst pour chacun des électrodes.
   • Si un courant [latex]i[/latex] traverse une cellule, quel courant total délivre la pile (sachant qu’elles sont en série) ?
4. Calculer, lors d’une décharge complète, la masse de [latex]\ce{HSO4-}[/latex] consommée et celle d’eau formée.
   • Intégrer la relation entre vitesse de réaction et courant électrique.

1 – Réflexion et transmission sur un plasma

1. Déterminer la conductivité complexe du plasma [latex]\underline{\gamma}[/latex] à la pulsation [latex]\omega[/latex].
2. Montrer que la densité volumique de charges est nulle dans le plasma.
3. Établir l’équation de dispersion [latex]k_p(\omega)[/latex] dans le plasma en posant [latex]\omega_p=\sqrt{\frac{Ne^2}{m\epsilon_0}}[/latex].
4. En déduire l’indice optique [latex]n[/latex] du plasma défini par [latex]n=\frac{c}{v_\phi}[/latex] où [latex]v_\phi[/latex] est la vitesse de phase.
5. Exprimer [latex]\underline{E_r}[/latex] et [latex]\underline{E_t}[/latex] en fonction de [latex]E_0[/latex] et de [latex]n[/latex].
   • Quelle condition aux limites a-t-on à l’interface vide-plasma ?
6. Établir les expressions réelles des trois champs électriques et magnétiques dans le cas [latex]\omega > \omega_p[/latex]. Les amplitudes seront exprimées en fonction de [latex]E_0[/latex] et [latex]n[/latex].
   • Quelle relation relie le champ magnétique et le champ électrique pour une OPPH ?
7. Définir et déterminer les coefficients de réflexion et de transmission en puissance [latex]R[/latex] et [latex]T[/latex], dans le cas [latex]\omega>\omega_p[/latex]. Que vaut leur somme ?
   • Commencer par exprimer les trois vecteurs de Poynting.
8. Dans le cas [latex]\omega<\omega_p[/latex], que vaut le module de [latex]\frac{1-\underline{n}}{1+\underline{n}}[/latex] ? On notera [latex]\phi[/latex] l'argument de ce dernier.
9. Dans le cas [latex]\omega<\omega_p[/latex], établir les expressions réelles des champs électriques et magnétiques incidents et réfléchis.
10. Calculer [latex]R[/latex] dans le cas [latex]\omega<\omega_p[/latex]. En déduire [latex]T[/latex].
    • Quelle relation sur [latex]R[/latex] et [latex]T[/latex] traduit la conservation de l’énergie ?

2 – Réflexion et transmission entre deux cordes

1. Commenter les expression des trois ondes.
   • Ces ondes sont-elles progressives ? stationnaires ? harmoniques ?
2. En analysant la position de la jonction entre les deux cordes, montrer que les trois pulsations temporelles sont identiques.
   • Comment s’écrit l’onde dans la corde de gauches ? Dans la corde de droite ?
   • L’onde totale est continue en [latex]x=0[/latex].
3. En appliquant le principe fondamental de la dynamique sur une portion de corde de longueur [latex]2\epsilon[/latex] à la jonction, établir les coefficients de réflexion et de transmission en amplitude [latex]r=\frac{y_{0r}}{y_{0i}}[/latex] et [latex]t=\frac{y_{0t}}{y_{0i}}[/latex], en fonction des célérités [latex]c_1[/latex] et [latex]c_2[/latex] dans les cordes.
   • Faire tendre [latex]\epsilon[/latex] vers [latex]0[/latex] pour montrer la continuité de [latex]\vec{T}[/latex] en [latex]0[/latex].
   • Quelle relation relie [latex]\vec{T}[/latex] et [latex]\alpha[/latex] ? [latex]\alpha[/latex] et [latex]y[/latex] ?

3 – Réflexion et transmission entre deux câbles

1. Proposer une modélisation mathématique pour les ondes incidentes, réfléchies et transmises.
   • Comment s’écrit une OPH ?
2. Quelles sont les conditions aux limites en [latex]x=0[/latex] ?
   • La tension et le courant sont continus en [latex]x=0[/latex]. Écrire ce que cela implique sur les ondes ?
3. Définir et établir les coefficients de réflexion et de transmission en amplitude pour la tension, à la jonction entre les deux câbles. Conclure quant à la nécessité d’assurer une adaptation d’impédance lors de la mise en série de deux câbles coaxiaux.
4. On définit les coefficients de réflexion (resp. transmission) en puissance, par la valeur absolue du rapport entre la valeur moyenne de la puissance réfléchie (resp. transmise) sur la valeur moyenne de la puissance incidente. Calculer ces deux coefficients. Quelle relation simple les lie ?

1 – Ondes sonores dans un fluide visqueux

1. Montrer que le PFD appliqué à une particule de fluide, dans l’approximation acoustique, en projection sur l’axe [latex](Ox)[/latex] donne [latex display= »true »]\rho_0\frac{\partial v_1}{\partial t} = -\frac{\partial P_1}{\partial x} + \frac{4}{3}\eta\frac{\partial^2v_1}{\partial x^2}[/latex]
   • Reprendre le PDF sur une particule de fluide du cours, en ajoutant cette fois ci la force de viscosité.
   • L’énoncé précise que l’onde se propage selon [latex]x[/latex]. Simplifier les opérateurs vectoriels dans ce cas.
2. Établir l’équation de propagation de l’onde sonore pour la surpression (on n’utilisera que les équations projetées sur [latex]\vec{u_x}[/latex]). On utilisera la célérité, telle que [latex]c^2=\frac{1}{\chi_0\rho_0}[/latex], afin de ne pas employer le coefficient de compressibilité isentropique.
   • L’équation thermodynamique et l’équation locale de conservation de la masse restent inchangées.
   • Dériver l’équation locale de conservation de la masse d’une part par rapport à [latex]x[/latex] et d’autre part par rapport à [latex]t[/latex] afin d’éliminer les [latex]v_1[/latex] de l’équation de la question 1.
3. L’onde est harmonique de fréquence [latex]f=\SI{1.0e3}{Hz}[/latex]. Pour l’air à \SI{20}{\celsius}, on donne [latex]\eta/\rho_0=\SI{2.0e-5}{m^2s^{-1}}[/latex]. Établir l’équation de dispersion et la distance caractéristique d’atténuation de l’onde, en tenant compte des approximations numériques.
   • Passer en complexes l’équation d’onde.
   • La distance caractéristique d’atténuation de l’onde est la profondeur de peau.
4. Est-ce la raison pour laquelle on entend moins bien un son quand on s’éloigne de sa source ?
   • À part l’absorption, quel autre phénomène peut être responsable de l’atténuation de l’amplitude d’une onde ?

2 – Corde vibrante soumise à des frottements visqueux

1. Mettre en équation la corde. On introduira les coefficients [latex]c=\sqrt{\frac{T}{\mu}}[/latex] et [latex]a=\frac{\alpha}{T}[/latex].
   • Reprendre la démonstration de l’équation de d’Alembert du cours en rajoutant la force de frottement fluides.
2. On cherche une solution à variables séparées en [latex]y(x,t)=f(x)g(t)[/latex]. À quelles équations différentielles les deux fonctions [latex]f[/latex] et [latex]g[/latex] obéissent-elles ?
   • Introduire la forme proposée dans l’équation d’onde et séparer les variables.
3. Résoudre l’équation sur [latex]f[/latex] puis celle sur [latex]g[/latex]. On se placera dans le cas de frottements faibles, et on précisera explicitement l’inégalité qu’implique cette hypothèse. On ne cherchera pas à expliciter les constantes.
   • L’équation différentielle sur [latex]f[/latex] possède trois familles de solution. Parmi ces familles, quelle est la seule qui admet des solutions non nulles compatibles avec les conditions aux limites ?
   • Compte tenu de l’hypothèse de frottements faibles, quel est le signe du discriminent de l’équation différentielle sur [latex]g[/latex] ?
4. En déduire la durée caractéristique d’amortissement des oscillations. Que devient l’énergie initialement contenue dans la vibration de la corde ?
   • La durée caractéristique d’amortissement apparait dans l’exponentielle.

3 – Câble coaxial et pertes résistives

1. Établir une relation entre [latex]\Gamma[/latex], [latex]g[/latex], [latex]u(x,t)[/latex], [latex]i(x,t)[/latex] et/ou de leurs dérivées premières.
   • Réaliser un schéma électrique d’une portion infinitésimale de cable.
   • Appliquer la loi des nœuds.
2. Établir une relation entre [latex]\Lambda[/latex], [latex]r[/latex], [latex]u(x,t)[/latex], [latex]i(x,t)[/latex] et/ou de leurs dérivées premières.
   • Appliquer la loi des mailles.
3. En déduire que [latex]u(x,t)[/latex] satisfait à l’équation dite des télégraphistes [latex]\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}-\alpha\frac{\partial^2u}{\partial t^2}-\beta\frac{\partial y}{\partial t}-\mu u(x,t)=0[/latex]. Préciser l’expression de [latex]\alpha[/latex], [latex]\beta[/latex], et [latex]\mu[/latex] en fonction des paramètres de l’énoncé. On admet que [latex]i[/latex] obéit à la même équation.
   • Il faut combiner les équations des question précédentes.
   • Dériver l’équation de la question 1 par rapport à [latex]t[/latex] et celle de la question 2 par rapport à [latex]x[/latex]. Appliquer le théorème de Schwarz.
4. On considère une onde qui se déplace dans le sens de [latex]x[/latex] croissants : [latex]\underline{u}^+(x,t)=\underline{u}_0^+e^{j(\omega t-kx)}[/latex]. Établir l’équation de dispersion.
   • Passer en complexe l’équation d’onde de la question précédente.
5. On pose [latex]\underline{k}=k’+jk »[/latex]. Qu’implique le fait que [latex]\underline{k}[/latex] soit complexe ?
6. Déterminer la vitesse de phase [latex]v_\phi[/latex] et une longueur [latex]\delta[/latex] caractéristique en fonction de [latex]k'[/latex] et [latex]k »[/latex]. Quels doivent être les signes de [latex]k'[/latex] et [latex]k »[/latex] ?

4 – Spread of an electromagnetic wave in a plasma

1. Ascertain the magnetic field of this wave.
   • L’onde est une OPPH. Quelle relation lie [latex]\vec{E}[/latex] et [latex]\vec{B}[/latex] dans ce cas ?
2. Determine 2 equations on the current density vector [latex]\vec{\underline{j}}[/latex]. Deduce the dispersion equation and comment the result.
   • Les deux équations sont la loi d’Ohm locale et l’équation de Maxwell-Ampère.
3. Ascertain the Poynting vector. Comment.
   • Attention, il faut repasser en réel pour calculer le vecteur de Poynting.

5 – Simulation de la propagation d’un paquet d’onde dans un plasma

1 – Corde vibrante conductrice

1. Établir l’équation du mouvement de la corde sous la forme
   [latex]\frac{\partial^2 z}{\partial t^2}-c^2\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}=\frac{i_0 B_0}{\mu}\cos(\omega t)\sin(\frac{\pi x}{L})[/latex]
   où [latex]c[/latex] est une constante à exprimer en fonction des données de l’énoncé.
   • Reprendre la démonstration de l’équation de d’Alembert avec cette fois-ci la force de Laplace en plus.
2. On cherche une solution en [latex]z(x,t)=z_0\sin(\frac{\pi x}{L})\cos(\omega t)[/latex] en régime sinusoïdal forcé. Commenter le choix de cette expression.
   • Cette onde est-elle une onde stationnaire ou progressive ?
   • Le milieu est-il fini, semi-infini ou infini ?
3. Déterminer l’expression de [latex]z_0[/latex]. Que se passe-t-il quand [latex]\omega[/latex] tend vers [latex]\frac{\pi c}{L}[/latex] ? La modélisation du phénomène est-elle toujours valable ? Expliquer.
   • Introduire l’expression de [latex]z[/latex] dans l’équation d’onde.
   • Les hypothèses faire pour établir l’équation d’onde sont-elles compatibles avec une amplitude qui diverge ?

2 – Câble coaxial alimenté par un générateur

1. Ascertain the voltage wave [latex]u(x,t)[/latex] and the current wave [latex]i(x,t)[/latex].
   • Deux possibilités : soit chercher les solutions sous la forme [latex]f(x)g(t)[/latex] (milieu fini), soit sous la forme d’une onde incidente plus une onde réfléchie.
   • Quelles sont les conditions aux limites en [latex]x=0[/latex] ? en [latex]x=L[/latex] ?
2. For some values of [latex]\omega[/latex], the amplitude of [latex]u[/latex] and [latex]i[/latex] are very important. Explain why and for determine the values of [latex]\omega[/latex] for which this happens.

3 – Modèle d’une clarinette

1. Pourquoi modéliser l’onde sonore par une onde stationnaire ?
   • Le milieu est-il fini, semi-infini ou infini ? Dans un tel milieu, sous quelle forme cherche-t-on des solutions de manière privilégiée ?
2. Établir l’expression du champ de vitesse dans la clarinette. A-t-on [latex]P(x,t)=Zv(x,t)[/latex], où [latex]Z=\rho_0c[/latex] ?
   • Écrire l’équation mécanique liant la surpression à la vitesse.
3. Quelles sont les deux conditions aux limites imposées par l’atmosphère ?
   • Attention, dans cet exercice, [latex]P[/latex] désigne la surpression et pas la pression comme dans le cours.
   • Écrire la condition d’adhérence en [latex]x=0[/latex] et la continuité de la pression en [latex]x=l[/latex].
4. Établir quelles pulsations peuvent être jouées avec cet instrument.
   • Quelles valeurs de [latex]k[/latex] sont possible avec la condition aux limites sur la surpression en [latex]x=l[/latex] ?
   • Relier [latex]k[/latex] à [latex]\omega[/latex] grâce à la relation de dispersion.
5. La note fondamentale d’une flute de longueur [latex]l[/latex] est [latex]\omega_f=\frac{\pi c}{l}[/latex]. Comparer la hauteur de son d’une flute et d’une clarinette de même longueur.
   • La fondamentale est la plus petite fréquence ([latex]n=1[/latex]).

4 – Modes propres dans une cavité sphérique

1. Que représente chacun des termes de [latex]P(r,t)[/latex] ?
   • Pour chaque terme, est-ce une onde stationnaire ou progressive . harmonique ou non ? sphérique, cylindrique ou plane ?
2. Déterminer le champ des vitesses [latex]\underline{v}[/latex] associé à l’onde ?
   • Attention, les ondes ne sont pas des OPPH, on ne peut pas utiliser l’impédance acoustique.
   • Utiliser la relation mécanique liant la surpression et la vitesse.
3. Établir le lien entre [latex]\omega_1[/latex] et [latex]\omega_2[/latex] puis [latex]A[/latex] et [latex]B[/latex]. En déduire [latex]\underline{v}[/latex].
   • Écrire la condition d’adhérence en [latex]r=R[/latex].
   • Isoler les fonctions de [latex]t[/latex] d’un côté du signe égal.
4. En supposant que la surpression ne diverge pas en [latex]0[/latex], montrer que [latex]-2kR=\arctan\frac{2kR}{1-k^2R^2}[/latex]. Comment déterminer graphiquement les valeurs de [latex]k[/latex] possibles ?

5 – Cavité électromagnétique à une dimension

1. Établir l’équation de propagation pour [latex]\vec{E}[/latex] dans le vide.
2. On cherche des solutions à variables séparables : [latex]\vec{E}=f(x)g(t)\vec{u_y}[/latex]. Établir les équations différentielles [latex]f »(x)=\alpha f(x)[/latex] et [latex]g »(t)=\alpha c^2 g(t)[/latex], où [latex]\alpha[/latex] est une constante inconnue à ce stade.
   • Remplacer [latex]\vec{E}[/latex] par [latex]f(x)g(t)\vec{e_y}[/latex] dans l’équation de d’Alembert et séparer les variables.
3. Quelles sont les conditions aux limites.
   • Dans un conducteur parfait, le champ électrique est nul. De plus, la composante tangente à l’interface du champ électrique est continue.
4. Déterminer [latex]f(x)[/latex]. L’exprimer sous la forme d’une fonction de [latex]kx[/latex] où [latex]k[/latex] est une constante qui dépend de [latex]\alpha[/latex] et d’un entier [latex]n[/latex].
   • L’équation différentielle sur [latex]f[/latex] a trois familles de solutions. Parmi elles, quelle est la seule admettant des solutions non nulles compatibles avec les conditions aux limites ?
   • Quelle contrainte sur [latex]k[/latex] imposent les conditions aux limites ?
5. En déduire l’expression de [latex]\vec{E}[/latex] en fonction de [latex]k[/latex] , d’une constante multiplicative près notée [latex]E_0[/latex] et d’une phase [latex]\varphi[/latex].
   • Quelles sont les solutions de l’équation différentielle sur [latex]g[/latex] ?
6. Quelle est l’analogue mécanique de ce problème électromagnétique ?
   • Penser à un système où on a également des modes propres quantifiés à cause de deux conditions aux limites strictes.
7. Établir l’expression du champ magnétique [latex]\vec{B}[/latex]. Que dire des points où [latex]\vec{B}[/latex] est constamment nul, par rapport à ceux où [latex]\vec{E}[/latex] est constamment nul ?
   • La relation de structure, démontrée pour une OPPH, ne peut pas être utilisée ici.
   • Quelle équation de Maxwell permettrait de déterminer [latex]\vec{B}[/latex] ?
   • Utiliser l’équation de Maxwell-Faraday.