Catégorie : PSI

1 – Détermination d’une loi de vitesse

1. Quel est le lien entre la vitesse volumique d’apparition de [latex]\ce{NO2}[/latex] ([latex]r_{\ce{NO2}}[/latex]) et la vitesse volumique de réaction [latex]r[/latex] ?
   • Quel lien y a-t-il entre la quantité de matière de [latex]\ce{NO2}[/latex] et l’avancement [latex]\xi[/latex] ? Entre la concentration [latex]\ce{[NO2]}[/latex] et l’avancement volumique [latex]\frac{\xi}{V}[/latex] ?
   • Faire un tableau d’avancement pour répondre au coup de pouce précédent.
2. Montrer que pour une réaction d’ordre 2, on a [latex]\ln\left(\frac{\ce{[NO2]}_e-\ce[NO2]_s}{\tau}\right)=\alpha\ln\ce{[NO2]}_s+B[/latex]. Que vaut [latex]\alpha[/latex] pour une réaction d’ordre 2 ?
   • Faire un bilan de matière sur un système fermé constitué à partir du système ouvert [latex]{\text{réacteur}}[/latex].
   • Que signifie que la réaction est d’ordre 2 ?
   • Comme la réaction a un unique réactif, son ordre partiel en [latex]\ce{NO2}[/latex] est l’ordre global.
3. Les résultats expérimentaux sont-ils compatibles avec une cinétique d’ordre 2 ? Calculer la constante de vitesse [latex]k[/latex] à la température de l’expérience.
   • Tracer [latex]\ln\left(\frac{\ce{[NO2]}_e-\ce[NO2]_s}{\tau}\right)[/latex] en fonction de [latex]\ln \ce{[NO2]}[/latex]. Faire une régression linéaire.
   • Si le modèle d’une réaction d’ordre 2 est bien vérifié, que doit valoir [latex]r^2[/latex] ? Que doit valoir la pente ?

2 – Comparaison d’installation

1. Dans un premier temps, on emploi un \textbf{réacteur fermé} contenant [latex]\SI{40}{L}[/latex] de mélange homogène. Quelle doit être la durée de l’opération pour obtenir un taux de conversion égal à [latex]\SI{98}{\%}[/latex] ?
   • Relier la vitesse volumique de réaction à la concentration d’ester de deux façons : grâce en faisant intervenir le coefficient stœchiométrique et en utilisant le fait que la réaction est d’ordre 1.
   • Résoudre l’équation différentielle pour exprimer la concentration d’ester en fonction du temps.
2. On désire cette fois traiter [latex]\SI{40}{L.h^{-1}}[/latex] de solution dans un \textbf{réacteur ouvert} parfaitement agité continu pour obtenir un taux de conversion de [latex]\SI{98}{\%}[/latex]. Quels doivent être le temps de passage et le volume du réacteur ?
   • Faire un bilan de matière en ester sur un système fermé constitué à partir du système ouvert [latex]{\text{réacteur}}[/latex].
   • Relier la concentration en entrée, la concentration en sortie, le temps de passage et la constante [latex]k_\text{app}[/latex].
3. On désire, enfin, traiter [latex]\SI{40}{L.h^{-1}}[/latex] de solution dans une cascade de [latex]n=10[/latex] réacteur parfaitement agités continus de mêmes dimensions, associés en série. On suppose que le temps de passage est le même dans chaque réacteur. Quels doivent être le temps de passage et le volume total des réacteurs pour obtenir un taux de conversion de [latex]\SI{98}{\%}[/latex] ?
   • Reprendre le résultat précédent et l’appliquer entre un réacteur [latex]i[/latex] et un réacteur [latex]i+1[/latex].
   • Quelle est la nature de la suite [latex](\ce{[E]}_i)_{i\in \mathbb{N}^*}[/latex] ?
   • Exprimer [latex]\ce{[E]}_{10}[/latex] en fonction de [latex]\ce{[E]}_0[/latex], [latex]k_{\text{app}}[/latex] et [latex]\tau[/latex].

1 – Échangeur thermique à contre-courant

1. À l’aide du premier principe de la thermodynamique, établir un lien entre ces deux puissances, [latex]D[/latex] et les enthalpies massiques du fluide en entrée et en sortie.
   • Il s’agit de la démonstration du PPI du cours, avec quelques hypothèses qui simplifient un peu les calculs.
   • Le PPI ainsi obtenu doit être multiplié par le débit massique pour faire apparaitre les puissance demandées.
2. En raisonnant de même, calculer [latex]\theta_2[/latex].
   • Donner un nom à la puissance allant du gaz vers le fluide.
   • Appliquer le PPI en termes de puissances d’une part au gaz et d’autre part au fluides.
   • Utiliser la seconde loi de Joule.
3. En faisant un bilan d’entropie sur un système fermé bien choisi, exprimer le taux de création d’entropie [latex]\frac{\delta S_C}{dt}[/latex] en fonction de la différence d’entropie massique entre la sortie et l’entrée pour l’eau [latex]s_{2,e}-s_{1,e}[/latex] et de gaz [latex]s_{2,g}-s_{1,g}[/latex] et des débits massiques.
   • Il s’agit de démontrer le second principe de la thermodynamique pour un système ouvert en écoulement stationnaire (démo du cours).
   • Par quoi doit on multiplier l’équation pour faire apparaitre une puissance.
4. En utilisant l’identité thermodynamique sur [latex]H(P,S)[/latex], montrer que [latex]s_{2,e}-s_{1,e}=c\ln\frac{\theta_2}{\theta_1}[/latex] et que [latex]s_{2,g}-s_{1,g}=\frac{\gamma R}{M(\gamma-1)}\ln\frac{T_2}{T_1}[/latex] calculer leur valeur.
   • Écrire l’identité thermodynamique sur [latex]H(P,S)[/latex] puis la seconde loi de Joule.
   • Exprimer la variation d’entropie massique en fonction de la capacité thermique massique et de la température.
   • Pour un gaz parfait, comment la capacité thermique massique à pression constant s’exprime-t-elle en fonction du coefficient de Laplace ?
5. Quel est le signe de [latex]\frac{\delta S_C}{dt}[/latex] ? Est-ce conforme avec le second principe de la thermodynamique ?

2 – Vidange d’une cuve

1. Un agriculteur souhaite vidanger une cuve cubique d’un mètre cube remplie d’eau par un robinet situé en bas. Combien de temps doit-il prévoir ? Des hypothèses raisonnables peuvent être faites, à condition qu’elles soient explicitées.
   • En supposant l’écoulement parfait, stationnaire, incompressible et homogène, établir l’expression de la vitesse au niveau de la vanne.
   • Relier le débit volumique à la vitesse de l’écoulement au niveau de la vanne.
   • Relier le volume d’eau dans la cuve à la hauteur d’eau.
   • Formuler une équation différentielle sur la hauteur ou le volume d’eau puis l’intégrer.
   • L’équation différentielle peut être intégrée entre l’état initial et l’état final par séparation des variables.
   • [latex]2\sqrt(c)[/latex] est une primitive de [latex]\frac{1}{\sqrt(x)}[/latex]
   • Estimer la section de la vanne à partir de la photo.

3 – Fonctionnement d’une hélice

1. En utilisant le théorème de Bernoulli, exprimer la pression [latex]P[/latex] en fonction de [latex]P_a[/latex], [latex]\rho[/latex], [latex]v_1[/latex] et [latex]v[/latex]. Faire de même pour [latex]P'[/latex] en fonction de [latex]P_a[/latex], [latex]\rho[/latex], [latex]v_2[/latex] et [latex]v'[/latex].
2. On note [latex]\vec{F}[/latex] la résultante des forces exercées par l’hélice sur le fluide. Effectuer un bilan d’impulsion\footnote{Impulsion et quantité de mouvement sont synonymes.} dans le volume compris entre [latex]S[/latex] et [latex]S'[/latex] pour exprimer [latex]\vec{F}[/latex] en fonction de [latex]\rho[/latex], [latex]S[/latex], [latex]v_1[/latex] et [latex]v_2[/latex].
   • Quelles sont les trois forces s’appliquant sur le système ?
   • Les 3 forces sont les deux forces de pression et la force [latex]\vec{F}[/latex].
   • Justifier que le débit volumique se conserve. En déduire une relation entre [latex]v[/latex] et [latex]v'[/latex].
3. En effectuant un bilan d’impulsion cette fois-ci sur le volume compris entre [latex]S_1[/latex] et [latex]S_2[/latex], établir l’expression de [latex]\vec{F}[/latex] en fonction de [latex]S[/latex], [latex]\rho[/latex], [latex]v[/latex], [latex]v_1[/latex] et [latex]v_2[/latex].
   • Justifier que la résultante des forces de pression est nulle.
4. En égalisant les expressions obtenues dans les deux questions précédentes, donner une relation simple entre [latex]v[/latex], [latex]v_1[/latex] et [latex]v_2[/latex].
5. En appliquant le théorème de la puissance cinétique à un système fermé bien choisi, déterminer la puissance [latex]\mathcal{P}[/latex] fournie par l’hélice au fluide. Donner le résultat en fonction du débit massique [latex]D_m[/latex], [latex]v_1[/latex] et [latex]v_2[/latex] puis en fonction de [latex]\vec{f}[/latex] et [latex]\vec{v}[/latex].
   • Définir un système fermé à partir du système ouvert délimité par [latex]S_1[/latex] et [latex]S_2[/latex].
6. Commenter le signe de [latex]\mathcal{P}[/latex] et justifier l’allure du tube de courant représenté sur le schéma.
   • Comparer [latex]v_1[/latex] et [latex]v_2[/latex].
   • Justifier que [latex]S_2

4 – Perte de charge dans un élargissement brusque

1. Expliquer pourquoi la pression vaut [latex]P_1[/latex] dans la partie gauche de la zone d’eau morte, au contact de l’élargissement vertical.
   • Écrire la relation de Bernoulli entre la section gauche et l’élargissement.
   • En négligeant les effets de la gravité, comment s’écrit l’équation fondamentale de l’hydrostatique dans la zone d’eau morte.
2. Au moyen d’un bilan de quantité de mouvement sur un système fermé bien choisi, exprimer la chute de pression [latex]P_1-P_2[/latex] entre l’amont et l’aval en fonction de [latex]\mu[/latex], [latex]v_1[/latex] et des sections.
   • Représenter sur un schéma les forces de pression s’exerçant tout autour du système. Sur quelle surface s’exerce la pression [latex]P_1[/latex] ? Sur quelle surface s’exerce la pression [latex]P_2[/latex] ?
3. En déduire le coefficient de perte de charge singulière [latex]\zeta[/latex] défini par [latex]\Delta P_\text{sing}=\zeta \frac{1}{2}\mu v_1^2[/latex].

5 – Les propriétés de l’air sont-elles celles d’un gaz parfait dans les conditions ambiantes ?

1. L’air vérifie-t-il l’équation d’état d’un gaz parfait dans les conditions du tableau ?
   • A l’aide de l’équation d’état des gaz parfaits, relier [latex]P[/latex], [latex]v[/latex], [latex]R[/latex], [latex]T[/latex] et [latex]M[/latex]. Cette relation est-elle vérifiée pour les valeurs du tableau ?
2. Sur le diagramme [latex](P, h)[/latex], les isothermes sont-elles conformes aux propriétés d’un gaz parfait ? Qu’en est-il au voisinage du point [latex]A[/latex] ?
   • Que dit la seconde loi de Joule pour un gaz parfait ? Comment varie l’enthalpie pour une isotherme ?
3. Mesurer la capacité thermique massique à pression constante [latex]c_p[/latex] au voisinage du point [latex]A[/latex]. En déduire le coefficient [latex]\gamma[/latex] en adoptant le modèle du gaz parfait.
   • Au voisinage du point [latex]A[/latex], de combien varie l’enthalpie massique lorsque la température passe de [latex]\SI{0}{°C}[/latex] à [latex]\SI{20}{°C}[/latex] ?
   • On rappelle les relations de Mayer [latex]C_P-C_V=nR[/latex] et [latex]\gamma=\frac{C_P}{C_V}[/latex]. En déduire [latex]C_P[/latex] puis [latex]c_P[/latex] en fonction de [latex]\gamma[/latex].
4. En considérant l’isentropique [latex]s = \SI{4}{kJ.K^{-1}.kg^{-1}}[/latex], tracer une courbe permettant de valider ou d’invalider la relation de Laplace. La courbe pourra être tracer sur Python ou la calculatrice et devra comporter 9 points.
   • Mesurer [latex]P[/latex] et [latex]v[/latex] pour des points le long de l’isentropique.
   • En fonction de quoi doit-on tracer la pression pour obtenir une droite si la relation de Laplace est vérifiée ?
   • Tracer [latex]P[/latex] en fonction de [latex]v^{-\gamma}[/latex].
5. En conclusion, le modèle de gaz parfait pour l’air est-il bien vérifié dans les conditions ambiantes.

6 – Stockage d’un fluide diphasé : le GPL

1. Quelle pression règne-t-il dans le réservoir ? Pour un réservoir de [latex]\SI{50}{L}[/latex], quelle masse de propane est-elle stockée ? Le volume massique du liquide saturant étant égal à [latex]\SI{2e-3}{m^3.kg^{-1}}[/latex], quelle est la capacité maximale du réservoir ?
   • Le propane est en équilibre liquide/gaz. Quelle est la forme des isotherme dans le diagramme ?
   • Lire la volume massique sur la courbe.
2. Le réservoir est éprouvé pour résister à une pression de [latex]\SI{30}{bar}[/latex]. En cas d’incendie ou d’échauffement accidentel, à quelle température y a-t-il risque d’explosion ?
   • Qu’est-ce qui reste constant lorsque le réservoir chauffe ? Sur quelle courbe se déplace-t-on ?
   • La masse de propane et le volume du réservoir restent constants.
   • Que vaut la température lorsque l’isochore concernée rencontre la pression [latex]\SI{30}{bar}[/latex] ?
3. Depuis 2001, les réservoirs GPL sont munis d’une soupape permettant d’évacuer le fluide dès que la pression dépasse [latex]\SI{25}{bar}[/latex]. Expliquer l’intérêt de cette soupape.
4. Entre la sortie du réservoir et les injecteurs du moteur, le GPL circule dans un vapo-détendeur où il subit une détente isenthalpique. Comment évoluent la température et la composition du mélange liquide-vapeur ?

1 – Solubility of calcite

1. Calculate the standard free enthalpy of reaction for the solubilisation of the calcite.
   • Utiliser les enthalpies libres de formation.
2. Deduce the solubility product of the calcite.
   • Qu’est-ce que le produit de solubilité ?
   • Comment la constante d’équilibre est-elle liée à l’enthalpie de réaction.

2 – Réactions simultanées

1. Exprimer, lorsque les deux équilibres chimiques sont atteints, la quantité de matière de chaque participant, en fonction de la quantité de matière initiale en méthane [latex]n_0(\ce{CH4})[/latex] et en eau [latex]n_0(\ce{H2O})[/latex] et de l’avancement [latex]\xi_1[/latex] (respectivement [latex]\xi_2[/latex] ) de la réaction (1) (resp. (2)).
   • Dresser deux tableaux d’avancement.
   • Pour simplifier les justifications, les réactions peuvent être considérées successives (dans cette question uniquement) pour la réalisation des tableaux d’avancement.
2. Exprimer les quotients réactionnels en fonction de la pression totale [latex]p_{tot}[/latex], de la pression standard [latex]p^\circ[/latex], des quantités de matières initiales [latex]n_0(\ce{CH4})[/latex] et [latex]n_0(\ce{H2O})[/latex] et des avancements [latex]\xi_1[/latex] et [latex]\xi_2[/latex].
   • L’activité d’un gaz est égal à sa pression partielle divisé par la pression standard.
   • La pression partielle est la pression du gaz multiplié par la fraction molaire [latex]p_i=p_{tot}\frac{n_i}{n_{tot,gaz}}[/latex]
3. Calculer la pression totale [latex]p_{tot}[/latex] pour laquelle la quantité de matière de dioxyde de carbone à l’équilibre est égale à [latex]\SI{0,5}{mol}[/latex]. Quelle est alors la composition à l’équilibre ? Les résolutions d’équation peuvent être réalisées à l’aide de la calculatrice ou de Python.
   • Utiliser la loi d’action des masses pour les deux réactions.

3 – Les chlorures de phosphore

4 – Dépôt de nickel

1. Calculer l’enthalpie standard de réaction [latex]\Delta_rH^0_1[/latex] et l’entropie standard de réaction [latex]\Delta_rS^0_1[/latex] à [latex]\SI{298}{K}[/latex].
   • Utiliser la loi de Hess
2. En déduire, dans le cadre de l’approximation d’Ellingham, l’expression numérique de l’enthalpie libre standard [latex]\Delta_rG^0_1[/latex] exprimée en [latex]\SI{}{J.mol^{-1}}[/latex], à la température T, exprimée en kelvin.
   • Quelle est la définition de l’enthalpie libre ? En déduire une relation entre [latex]\Delta_rG^\circ[/latex], [latex]\Delta_r H^\circ[/latex], [latex]\Delta_r S^\circ[/latex] et [latex]T[/latex].
3. Montrer que [latex]\alpha[/latex] dépend de la pression totale [latex]p[/latex] à l’équilibre et de la température [latex]T[/latex] à laquelle on travaille ; expliciter la relation entre [latex]\alpha[/latex], [latex]p[/latex] et la constante d’équilibre [latex]K⁰[/latex] de la réaction étudiée.
   • Faire un tableau d’avancement.
   • Écrire la loi d’action des masses à l’équilibre chimique.
   • Quelle relation existe-t-il entre la constante d’équilibre et l’enthalpie libre de réaction ?
   • L’activité d’un gaz est égal à sa pression partielle divisé par la pression standard.
   • La pression partielle est la pression du gaz multiplié par la fraction molaire [latex]p_i=p_{tot}\frac{n_i}{n_{tot,gaz}}[/latex]
4. À quelle température [latex]T_1[/latex], [latex]\alpha = 0,05[/latex] sous la pression totale [latex]p = \SI{1}{bar}[/latex] ? À quelle température [latex]T_2[/latex], [latex]\alpha = 0,95[/latex] sous la pression totale [latex]p = \SI{1}{bar}[/latex] ?

1 – Troposphère

1. Déterminer l’expression de la pression [latex]P[/latex] en fonction de l’altitude [latex]z[/latex], en fonction de la température [latex]T[/latex], de la masse molaire de l’air [latex]M_\text{air}[/latex], de la constante des gaz parfaits [latex]R[/latex] et de l’accélération de la pesanteur [latex]g[/latex]. On note [latex]P_0[/latex] la pression au niveau de la mer.
   • Relier la masse volumique à la pression grâce à l’équation d’état des gaz parfaits.
   • Résoudre l’équation fondamentale de l’hydrostatique.
2. Montrer que [latex]70\%[/latex] de la masse totale de l’air se situe en dessous de [latex]\SI{10}{km}[/latex] dans ce modèle.
   • On considère un cylindre de section [latex]S[/latex] et de hauteur [latex]z[/latex]. Exprimer la masse contenue dans ce cylindre comme une intégrale.
   • On souhaite montrer que la masse contenue dans un cylindre de hauteur [latex]10\text{km}[/latex] est égale à [latex]70\%[/latex] de la masse contenue dans un cylindre de hauteur infinie.
3. Les capacités thermiques molaires de l’air sont [latex]C_V=\frac{5}{2}R[/latex] et [latex]C_P=\frac{7}{2} R[/latex]. Exprimer la valeur du coefficient [latex]\gamma[/latex].
4. Montrer que le produit [latex]T^xP^y[/latex] est constant pour une transformation réversible et adiabatique d’un gaz parfait. Exprimer [latex]x[/latex] et [latex]y[/latex] en fonction de [latex]\gamma[/latex].
   • Utiliser la loi de Laplace et l’équation d’état des gaz parfaits.
5. En déduire la relation reliant [latex]\frac{dP}{P}[/latex] et [latex]\frac{dT}{T}[/latex].
   • Exprimer [latex]T[/latex] en fonction de [latex]P[/latex] et différentier l’expression obtenue.
6. Établir l’expression du gradient de température adiabatique [latex]\frac{dT}{dz}[/latex] en fonction de [latex]\gamma[/latex], [latex]M[/latex], [latex]g[/latex] et [latex]R[/latex].
   • Utiliser la question précédente et l’équation fondamentale de l’hydrostatique.

2 – Lubrification

1. Calculer la valeur numérique de la réaction tangentielle.
   • Calculer la composante normale de la réaction puis utiliser la loi de Coulomb.
   • Projeter le théorème de la résultante cinétique sur l’axe verticale pour relier la réaction normale au poids.
2. Calculer la distance d’arrêt du mobile et faire l’application numérique.
   • Résoudre la projection sur l’axe horizontal du théorème de la résultante cinétique.
   • Quel est le temps d’arrêt, c’est-à-dire le temps auquel la vitesse est nulle.
   • La distance d’arrêt correspond à la position du solide au temps d’arrêt.
3. Donner la valeur de la viscosité dynamique de l’eau.
4. Montrer que [latex]v(x,y)[/latex] est indépendant de [latex]x[/latex].
   • Utiliser un argument d’invariance.
   • Que signifie l’expression de l’énoncé « on néglige les effets de bord » ?
5. On admet que la vitesse s’écrit [latex]v(y)=ay+b[/latex]. Déterminer [latex]a[/latex] et [latex]b[/latex] en exploitant la description du problème.
   • Utiliser la condition d’adhérence en [latex]z=0[/latex] et [latex]z=e[/latex].
6. Donner l’expression de la force surfacique de cisaillement au sein de l’eau.
7. Exprimer la force de frottement à laquelle est soumis la pavé.
   • La force exercée sur le pavé et l’opposé de la force exercée par le pavé sur la couche supérieure de fluide.
8. On admet qu’en l’absence d’action de l’opérateur pour maintenir la vitesse constante, l’expression de la vitesse établie précédemment reste valable, mais avec [latex]a[/latex] fonction du temps. Que devient la distance d’arrêt du palet ?
   • Résoudre la projection sur l’axe horizontal du théorème de la résultante cinétique.
   • La distance d’arrêt peut être définie comme la valeur maximale atteinte par la position.

3 – Distribution d’eau potable

1. Quel est l’ordre de grandeur de la pression [latex]P_e[/latex] qui peut être attendue au pied du château d’eau, en admettant que le débit de l’eau dans la canalisation soit suffisamment faible pour ne pas perturber la pression ?
   • Résoudre l’équation fondamentale de l’hydrostatique pour un fluide incompressible.
2. Soit une conduite de longueur [latex]L = \SI{100}{m}[/latex] et de section [latex]S = \SI{1}{cm^2}[/latex] partant du pied de ce château d’eau. L’autre extrémité est à l’air libre. Quel débit peut-on attendre, en supposant \textit{a priori} l’écoulement laminaire ? Calculer la vitesse débitante [latex]U[/latex].
   • Utiliser la loi de Haggen-Poiseuille.
3. Calculer le nombre de Reynolds pour cet écoulement, et conclure.
4. En tenant compte du diagramme de Moody, dire si la vitesse débitante sera plus ou moins importante que celle calculée plus haut.

4 – Chute d’une bille dans un fluide

1. Déterminer l’équation différentielle vérifiée par [latex]v[/latex] et la résoudre.
   • Quelles sont les 3 forces qui s’exercent sur la bille ?
   • Appliquer le théorème de la résultante cinétique à la bille.
2. On mesure la vitesse [latex]v_{1s}[/latex] une seconde après avoir lâché la bille, sachant que le temps caractéristique du mouvement est [latex]\tau = \SI{6}{ms}[/latex]. On fait cela pour plusieurs billes, de rayons plus petits. La courbe ci jointe montre l’évolution de [latex]v_{1s}[/latex], en fonction du carré [latex]r^2[/latex] du rayon de la sphère. Justifier le positionnement des points expérimentaux. Comment en déduire [latex]\eta[/latex] ?
   • En comparant [latex]t[/latex] et [latex]\tau[/latex], dans quel régime se trouve-t-on ? Quelle est l’expression de la vitesse dans ce régime ?
   • Exprimer la masse de la bille en fonction de [latex]\rho[/latex] et de [latex]r[/latex].
3. Le nombre de Reynolds vaut [latex]Re = 0,1[/latex] pour la plus grosse des sphères. Justifier le modèle.
   • Le nombre de Reynolds croit-il ou décroit-il avec [latex]r[/latex] ?
   • Pour toutes les billes, l’écoulement est-il laminaire ou turbulent ?
4. Que représentent [latex]S[/latex] ? Quelle est l’équation différentielle vérifiée par [latex]v(t)[/latex] ?
   • [latex]S[/latex] n’est PAS la surface de la bille [latex]4\pi r^2[/latex].
   • Appliquer le théorème de la résultante cinétique à la bille.
5. Montrer l’existence d’une vitesse limite [latex]v_l[/latex] et donner son expression.
   • Comme se simplifie l’équation différentielle en régime stationnaire ?
6. Résoudre l’équation différentielle.
   • Procéder par séparation des variable.
   • Quelle est la primitive de [latex]\frac{1}{ax^2+b}[/latex] ?
   • Dériver [latex]\frac{1}{\sqrt{ab}}\arctan\left(\sqrt{\frac{a}{b}}x\right)[/latex].
7. Critiquer le modèle utilisé.
   • Que vaut le nombre de Reynolds à [latex]t=0[/latex].
   • Expliquer pourquoi la modélisation de la force de frottement fluide par [latex]F_{tr} = \frac{1}{2}\mu\nu^2SC_x[/latex] n’est pas pertinente aux premiers instants du mouvements.

5 – Dériveur

1. Si le dériveur se déplaçait par rapport à l’eau à une vitesse de norme [latex]v_e = \SI{20}{km.h^{-1}}[/latex], dans une direction orthogonale à celle du vent, quelles seraient les valeurs des nombres de Reynolds associés aux deux écoulements : air et eau ? Commenter.
   • Pour l’écoulement d’air autour de la voile, quelle vitesse prendre ? Quelle viscosité cinématique ? Quelle distance caractéristique ?
   • Pour l’écoulement d’eau autour de la dérive, quelle vitesse prendre ? Quelle viscosité cinématique ? Quelle distance caractéristique ?
2. La figure ci-dessus montre un schéma très simplifié du dériveur en vue de dessus. A la différence d’un char à voile, dont les roues adhèrent bien au sol, un dériveur ne peut pas se déplacer dans la direction de son axe [latex](Ox)[/latex]. En plus de son mouvement d’avancement selon son axe, il subit un mouvement dit <>. La direction de sa vitesse [latex]\vec{v_{vit}}[/latex] par rapport à l’eau est indiquée sur la figure. En utilisant la portance et la trainée des deux ailes que constituent la voile et la dérive, effectuer un schéma des différentes forces horizontales agissant sur le dériveur. Y a t-il d’autres forces à ajouter ?
   • Représenter la vitesse de l’eau par rapport au dériveur.
   • Les forces de trainée sont colinéaires aux vitesses. Les forces de portance sont orthogonales aux vitesses.
   • En plus des forces horizontales, quelles sont les deux forces à rajouter.
3. En déduire un ordre de grandeur de l’envergure [latex]L_{env, e}[/latex] à choisir pour la dérive.
   • En régime stationnaire, l’accélération est nulle, et donc la somme des forces l’est aussi.
   • Projeter le TRC sur l’axe [latex](Ox)[/latex].

1 – Élaboration d’un ciment

1. Calculer numériquement les quantités de matière en ciment et en eau (notées [latex]n_1[/latex] et [latex]n_2[/latex]) initialement introduites.
   • Calculer la masse molaire de [latex]\ce{Ca3SiO5}[/latex] et de [latex]\ce{H2O}[/latex].
   • Quelle relation lie masse molaire, masse et quantité de matière ?
2. En supposant la réaction totale, indiquer quel est le réactif limitant et calculer les quantités de matière en chacune des espèces présentes en fin d’évolution.
   • Faire un tableau d’avancement.
   • En supposant [latex]\ce{Ca3SiO5}[/latex] réactif limitant, que serait l’avancement ? Même question pour [latex]\ce{H2O}[/latex]. Quel est le réactif limitant ?
   • Que vaut l’avancement final ?
3. Le système constitué par le calorimètre et son contenu sont supposés en évolution adiabatique. Estimer la valeur de l’enthalpie standard de réaction [latex]\Delta_r H^0[/latex] associée à l’équation-bilan [latex](1)[/latex]. On négligera la capacité thermique du calorimètre.
   • On imagine une transformation constitué d’une transformation chimique isotherme suivie d’une élévation de température sans transformation chimique dont les états initiaux et finaux sont les mêmes que la transformation étudiée.
   • Que peut-on dire de la chaleur échangée lors de la transformation étudiée ? En déduire la variation d’enthalpie.
   • Concernant la réaction chimique isotherme : relier la variation d’enthalpie à l’avancement.
   • Concernant l’élévation de température sans réaction chimique : écrire la seconde loi de Joule.
   • Relier les variations d’enthalpie sur les trois transformations.
4. La réaction est-elle exothermique ou endothermique ?

2 – Température de flamme du sulfure de plomb

1. Remplir les deux cases vides du tableau de données.
   • À quelle condition l’enthalpie standard de formation est-elle nulle ?
2. Écrire l’équation-bilan de cette réaction avec un coefficient stœchiométrique algébrique égal à [latex]-1[/latex] pour [latex]\ce{PbS(s)}[/latex].
3. Calculer l’enthalpie standard de réaction [latex]\Delta_rH^0[/latex] à [latex]\SI{298}{K}[/latex] pour la réaction écrite question 2.
   • Utiliser la loi de Hess
4. On part d’un mélange [latex]\ce{PbS(s)}/\ce{O2(g)}[/latex] dans les proportions stœchiométriques, à la température initiale [latex]T_i = \SI{298}{K}[/latex]. La réaction est menée de façon isobare adiabatique, calculer la température de flamme (température finale atteinte).
   • On imagine une transformation constitué d’une transformation chimique isotherme suivie d’une élévation de température sans transformation chimique dont les états initiaux et finaux sont les mêmes que la transformation étudiée.
   • Que peut-on dire de la chaleur échangée lors de la transformation étudiée ? En déduire la variation d’enthalpie.
   • Concernant la réaction chimique isotherme : relier la variation d’enthalpie à l’avancement.
   • Concernant l’élévation de température sans réaction chimique : écrire la seconde loi de Joule.
   • Relier les variations d’enthalpie sur les trois transformations.
5. Reprendre le calcul de la question 4 en supposant que le mélange initial est constitué d’air ([latex]80\%[/latex] de diazote et [latex]20\%[/latex] de dioxygène). La quantité d’air ajoutée est juste suffisante pour provoquer la disparition de la totalité de [latex]\ce{PbS(s)}[/latex].
   • Dans l’air, combien y a-t-il de fois plus de diazote que de dioxygène ?
   • Par rapport à la question précédente, quelles sont les grandeurs qui seront différentes ?