Catégorie : PSI

1 – Hachage sur charge inductive

1. Dans quel état est la diode sur [latex][0,\alpha T][/latex] ? sur [latex][\alpha T,T][/latex] ?
   • Lorsque le transistor est passant, quel doit être l’état de la diode ? Lorsque le transistor est bloqué, quel doit être l’état de la diode ?
2. Établir les équations différentielles qui régissent l’évolution du courant [latex]i_s[/latex], sur [latex][0,\alpha T][/latex] et [latex][\alpha T,T][/latex].
   • Dans chacun des cas, redessiner le schéma avec les interrupteurs dans le bon état.
   • Appliquer la loi des mailles dans chacun des cas.
3. Résoudre les équations différentielles sur [latex]i_s[/latex], sans chercher à exprimer les constantes. À quelle condition sur les valeurs de [latex]r[/latex], [latex]L[/latex], et [latex]T[/latex], l’évolution du courant dans la charge est-elle affine par morceau ? On répondra qualitativement à la question.
   • A quelle condition le développement limité de l’exponentielle donne-t-il une fonction affine ?
4. Établir l’expression de la valeur moyenne de l’intensité du courant dans la charge en fonction de [latex]\alpha[/latex], [latex]E[/latex] et [latex]r[/latex]. Effectuer l’application numérique.
   • Relier les valeurs moyenne de [latex]u_s[/latex], [latex]u_L[/latex] et [latex]u_r[/latex].
   • Exprimer la valeur moyenne de [latex]u_s[/latex] en fonction de [latex]\alpha[/latex] et [latex]E[/latex]. On pourra tracer un chronogramme de [latex]u_s[/latex].
   • Que vaut la valeur moyenne de [latex]u_L[/latex] ?

2 – Hachage à stockage inductif

1. Montrer que la commande des deux interrupteurs doit être complémentaire (ni ouverts ni fermés tous les deux en même temps).
   • La bobine est-elle un dipole de type source de tension ou source de courant ?
2. Identifier les interrupteurs à utiliser en traçant leur caractéristique courant-tension.
   • Lorsque [latex]K_1[/latex] est ouvert, quel est le signe de [latex]u_1[/latex]. Quand il est fermé, quel est le signe de [latex]i_1[/latex]. Même question pour [latex]K_2[/latex].
3. Tracer la forme d’onde de la tension aux bornes de la bobine. En déduire une relation entre [latex]U[/latex], [latex]U'[/latex] et [latex]\alpha[/latex].
   • Écrire la tension aux bornes de la bobine comme une dérivée. Que vaut la moyenne d’une dérivée ?
   • Exprimer la valeur moyenne de [latex]u_L[/latex] en fonction de [latex]\alpha[/latex], [latex]U[/latex] et [latex]U'[/latex].
4. Tracer les formes d’ondes des courants dans la bobine [latex]i_L[/latex] et dans les sources d’entrée [latex]i[/latex] et de sortie [latex]i'[/latex]. On ne cherchera pas à identifier les constantes.
   • Déterminer l’équation différentielle vérifiée par [latex]i_L[/latex] entre [latex]0[/latex] et [latex]\alpha T[/latex] et entre [latex]\alpha T[/latex] et [latex]T[/latex].
   • Résoudre cette équation différentielle sans cherche à exprimer la constante.
   • Relier [latex]i[/latex] et [latex]i'[/latex] à [latex]i_L[/latex] entre [latex]0[/latex] et [latex]\alpha T[/latex] et entre [latex]\alpha T[/latex] et [latex]T[/latex].
5. Exprimer les valeurs moyennes [latex]I[/latex] et [latex]I'[/latex] des courants [latex]i(t)[/latex] et [latex]i'(t)[/latex] en fonction de la valeur moyenne [latex]I_L[/latex] du courant [latex]i_L(t)[/latex] dans la bobine.
   • Raisonner géométriquement sur les aires dans le chronogramme.
6. En déduire l’expression du rapport [latex]I’/I[/latex] en fonction de [latex]\alpha[/latex]. Que dire du cas [latex]\alpha=1[/latex] ?
7. Dresser un bilan de puissance en exprimant la puissance moyenne cédée par la source de tension [latex]U[/latex], la puissance moyenne consommée par celle de tension [latex]U'[/latex] et le rendement.
8. Quels interrupteurs faudrait-il choisir si le courant dans la bobine était toujours négatif ?
   • Reprendre les indications de la question 3.

3 – Hacheur en pont

1. Dresser la liste de tous les états pour les interrupteurs. Préciser les états autorisés. Dans la suite, on ne s’intéresse qu’aux états qui permettent un transfert de puissance entre l’entrée et la sortie. Quels sont-ils ?
   • Pour dresser la liste des états sans en oublier, on peut s’inspirer du comptage en binaire.
   • La source de tension de doit pas être court-circuitée. La source de courant ne doit pas être en circuit ouvert.
   • Pour que de la puissance soit transférée entre l’entrée et la sortie, il faut que les deux sources soient dans la même maille.
2. En étudiant les contraintes qui pèsent sur les interrupteurs, préciser quels interrupteurs choisir.
   • Tracer les caractéristiques des 4 interrupteurs et placer dessus les deux points de fonctionnements correspondant aux deux états retenus.
   • Pour chacun des deux états retenus, indiquer le signe de la tension et du courant pour chaque interrupteur. On veillera à placer les tensions en convention récepteur.
3. Le hacheur fonctionne de manière périodique. Les interrupteurs commandés sont fermés sur [latex][0,\alpha T][/latex] et ouverts sur [latex][\alpha T, T][/latex]. Comment nomme-t-on [latex]\alpha[/latex].
4. Tracer les formes d’onde de l’intensité [latex]i_e[/latex] du courant en entrée et de la tension [latex]u[/latex] en sortie. En déduire les valeurs moyennes [latex]I_e[/latex] et [latex]U[/latex] de [latex]i_e[/latex] et [latex]u[/latex]. Quelle est la particularité de ce hacheur.
   • Quels sont les ensembles de valeurs que peuvent prendre [latex]U[/latex] et [latex]I_e[/latex] ?
5. Calculer les puissances délivrées par la source d’entrée et absorbée par celle de sortie. En déduire le rendement du hacheur.

4 – Improvement of the yield of a continuous voltage source

1. For the circuit (a), calculate the mean voltage on [latex]R[/latex] and then the yield of the device.
2. For the circuit (b), calculate the mean voltage on the capacitor (some approximations can be made). Calculate the yield for the device.

1 – Couple de mutuelle et règle du flux maximal

1. Déterminer l’inductance mutuelle [latex]M[/latex] entre les deux circuits.
   • Donner le champ magnétique créé par le solénoïde. Déterminer le flux de ce champ sur le cadre.
   • Quelle est la direction du champ créé par le solénoïde ? Quelle est celle de la surface élémentaire du cadre ?
   • Quelle relation relie le flux mutuel et l’inductance mutuelle ?
2. On note [latex]L[/latex] et [latex]L'[/latex], les inductances propres respectives de la spire et du solénoïde. Donner l’énergie électromagnétique [latex]\mathcal{E}_{em}[/latex] stockée dans ces deux circuits.
3. Le solénoïde étant fixe, calculer le couple électromagnétique [latex]\Gamma=\left(\frac{\partial \mathcal{E}_{em}}{\partial \theta}\right)_{I,I’}[/latex] que subit la spire.
4. La règle du flux maximal stipule que les actions électromagnétiques agissent sur un circuit mobile de telle sorte qu’il soit traversé par un flux maximal. Vérifier que le système formé par la spire et le solénoïde suit bien cette règle.
   • Vers quelle position d’équilibre le couple électromagnétique ramène-t-il le cadre ? Pour quelle position du cadre le flux est-il maximal ?

2 – Étude d’un moteur synchrone

1. Déterminer la fréquence des tension statoriques quand [latex]n=\SI{1500}{tr.min^{-1}}[/latex].
   • Écrire la condition de synchrone (donnée dans l’énoncé). Attention aux unités.
2. Représenter le diagramme vectoriel relatif à l’essai n°2. La résistance [latex]R[/latex] n’étant pas négligée, en déduire la valeur numérique de [latex]L[/latex].
   • Que vaut le courant dans l’essai n°1 ? Écrire la loi des mailles pour l’essai n°1 et en déduire la force contre-électromotrice.
   • Écrire la loi des mailles pour l’essai n°2 en utilisant la valeur de [latex]\Phi[/latex] donnée.
   • Écrire le théorème de Pythagore dans le triangle apparaissant sur le diagramme de Fresnel.
3. La valeur efficace de la force contre-électromotrice [latex]E[/latex] a pour expression [latex]E=\Phi_0\omega[/latex]. Quelle est l’unité de la constante [latex]\Phi_0[/latex] dans le système SI ? Que représente-t-elle ? De quels paramètres de la machine dépend-elle ? Montrer que [latex]E=A\Omega[/latex], où [latex]A[/latex] est une constante dont on précisera l’expression et la valeur numérique.
   • Utiliser la condition de synchronisme.
4. Dans toute la suite, on négligera la chute de tension ohmique ainsi que les pertes par effet Joule dans les circuits statoriques. Tracer un diagramme vectoriel représentatif d’un point de fonctionnement quelconque dans le cas où [latex]0\lt\Psi\lt\pi/2[/latex]. En déduire une relation entre [latex]V[/latex], [latex]E[/latex], [latex]\phi[/latex] et [latex]\Psi[/latex].
   • Écrire la loi des mailles dans un circuit statorique puis la représenter sur un diagramme de Fresnel. Représenter les angles [latex]\phi[/latex] et [latex]\Psi[/latex] sur le diagramme.
   • Relier géométriquement les projections de [latex]\underline{V}[/latex] et [latex]\underline{E}[/latex] sur l’axe des abscisses. En déduire une relation mathématique en utilisant la trigonométrie.
5. Déterminer l’expression de la puissance électrique [latex]P_a[/latex] absorbée par le moteur en fonction de [latex]V[/latex], [latex]I[/latex] et [latex]\phi[/latex], puis en fonction de [latex]E[/latex], [latex]I[/latex] et [latex]\Psi[/latex]. Quelle relation existe-t-il entre cette puissance électrique [latex]P_a[/latex] et la puissance mécanique électromagnétique [latex]P_m[/latex] reçue par le rotor ?
   • Attention, il y a deux phases à prendre en compte.
   • Rappel des hypothèses : pertes Joules négligeables.
6. Exprimer le couple électromécanique [latex]C[/latex] développé par le moteur en fonction de [latex]A[/latex], [latex]I[/latex] et [latex]\Psi[/latex]. Pour une intensité efficace [latex]I[/latex] donnée, que doit-on faire pour maximiser le couple développé par la machine ? De quelle unique variable le couple dépend-il alors ? À quelle autre moteur ce fonctionnement fait-il penser ?
   • Exprimer la puissance mécanique en fonction du couple et de la vitesse angulaire puis la relier avec l’expression de la question précédente.
   • Pour quelle valeur de [latex]\Psi[/latex] le couple est-il maximal ?
7. On se place sur un point de fonctionnement à [latex]\Psi⁼0[/latex], [latex]I=I_N[/latex] et [latex]n=\SI{1500}{tr.min^{-1}}[/latex]. Que vaut le moment du couple [latex]C[/latex] développé par le moteur ? Représenter le diagramme vectoriel représentatif du fonctionnement. Placer les vecteurs représentatifs des complexes [latex]\underline{E}[/latex], [latex]\underline{V}[/latex] et [latex]\underline{I}[/latex]. En déduire les expressions numériques de [latex]V[/latex] et [latex]\phi[/latex]. Calculer leurs valeurs numériques correspondantes.
   • Représenter le diagramme de Fresnel et utiliser la trigonométrie pour déterminer [latex]\phi[/latex] puis [latex]V[/latex].

3 – Alternateur d’une centrale hydroélectrique

1. Calculer l’intensité du courant d’induit nominal.
   • Exprimer la puissance apparente nominale en fonction de la tension nominale et du courant nominal.
2. Calculer la résistance synchrone [latex]X=L\omega[/latex] de chaque enroulement.
   • Utiliser le courant de court-circuit.
   • Représenter le circuit équivalent d’une phase en court-circuit.
   • Représenter le diagramme de Fresnel associé à la loi des mailles pour un induit court-circuité.
   • Utiliser le théorème de Pythagore.
3. Fonctionnement en charge. L’intensité du courant d’excitation vaut [latex]I_e=\SI{44}{A}[/latex], la tension efficace aux bornes d’une phase est \SI{8.64}{kV} et le facteur de puissance du réseau vaut [latex]\cos(\phi)=0.9[/latex] arrière (charge inductive). Représenter le schéma électrique d’une phase en négligeant la résistance [latex]R[/latex].
4. Représenter la loi des mailles sur un diagramme de Fresnel. Montrer que [latex](V\cos(\phi))^2+(V\sin(\phi)+IX)^2=E^2[/latex]. En déduire l’intensité efficace du courant dans une phase statorique.
   • Placer l’angle [latex]\phi[/latex] sur le diagramme.
   • Projeter [latex]jX\underline{X}[/latex] verticalement et horizontalement.
5. Calculer la puissance fournie au réseau et le rendement de l’alternateur sachant que l’ensemble des pertes mécaniques, ferromagnétiques et d’excitation valent [latex]P_p=\SI{2.4}{MW}[/latex].
   • Exprimer la puissance fournie au réseau par l’alternateur en fonction de [latex]V[/latex], [latex]I[/latex] et [latex]\cos(\phi)[/latex]. Attention, on étudie un alternateur diphasé.
   • Comment s’exprimer les pertes joules statoriques ?

4 – Détermination des paramètres d’un moteur synchrone

1. En régime permanent de rotation, quelle est la relation entre la vitesse de rotation du rotor [latex]\Omega[/latex] et [latex]\omega[/latex] ?
2. Rappeler le schéma électrique d’une phase en fonctionnement moteur et en fonctionnement générateur.
3. La valeur efficace de la force contre-électromotrice s’écrit sous la forme [latex]E=\Phi\omega[/latex], où [latex]\omega[/latex] désigne la vitesse de rotation du rotor. Que représente la grandeur [latex]\Phi[/latex] ? De quels paramètres dépend-elle ?
4. Afin de mesurer [latex]\Phi[/latex], on réalise un essai en circuit ouvert, le rotor de la machine synchrone étant entrainé par un moteur auxiliaire à la vitesse de \SI{6.0e3}{tr/min}, on mesure la tension efficace aux bornes d’une phase égale à \SI{1.2e2}{V}. Calculer la valeur de [latex]\Phi[/latex].
   • D’après la loi de Lenz-Faraday, quelle relation lie [latex]\underline{\Phi}[/latex] à [latex]\underline{E}[/latex] ?
   • Relier la tension aux bornes de l’induit à la force contre-électromotrice pour cet essai.
5. Pour mesurer la valeur de l’inductance d’une phase, on réalise un essai en court-circuit, le rotor étant toujours entrainé par le moteur auxiliaire à \SI{6.0e3}{tr/min}. Le dipôle de sortie d’une phase étant court-circuité, la mesure de l’intensité efficace du courant de court-circuit dans une phase donne la valeur [latex]I_{cc}=\SI{1.2e2}{A}[/latex]. Calculer l’inductance [latex]L[/latex] d’une phase.
   • Grâce à une loi des mailles, relier [latex]\underline{E}[/latex] à [latex]L[/latex], [latex]\omega[/latex] et [latex]\underline{I}[/latex] pour cet essai.

5 – DC motor lifting a mass

1. Ascertain the current [latex]i[/latex] and the voltage [latex]E_0[/latex] delivered by the generator as a function of [latex]M[/latex], [latex]g[/latex], [latex]a[/latex], [latex]\Phi_0[/latex], [latex]f[/latex], [latex]r[/latex], [latex]r_0[/latex].
   • Écrire une équation électrique et une équation mécanique et utiliser les relations entre grandeurs mécaniques et électriques pour une machine à courant continu.
   • Pour l’équation électrique, écrire la loi des mailles dans le circuit électrique équivalent de l’induit.
   • Pour l’équation mécanique, écrire le théorème du moment cinétique au système masse + cable + poulie + rotor.

6 – Rendement d’une génératrice à courant continu

1. Représenter le schéma électrique de l’induit alimentant la charge électrique (on placera la machine à courant continu en convension générateur). Préciser l’expression du couple électromagnétique qu’exerce la machine en fonction de [latex]\Phi_0[/latex] et [latex]i[/latex].
2. Calculer les valeurs de l’intensité du courant dans le charge et la vitesse de rotation de la machine.
   • Écrire une équation électrique et une équation mécanique et utiliser les relations entre grandeurs mécaniques et électriques pour une machine à courant continu.
   • Pour l’équation électrique, écrire la loi des mailles dans le circuit électrique équivalent de l’induit.
   • Pour l’équation mécanique, écrire le théorème du moment cinétique au rotor.
3. Définir puis calculer le rendement de conversion de la machine? La machine fonctionne-t-elle dans les conditions nominales ?
   • Calculer la tension aux bornes du moteur. Est-elle égale à la tension nominale ?

1 – Impedance matching

1. At which condition on the transformation ratio [latex]m[/latex] is the power dissipated by the resistor [latex]R_2[/latex] maximal ?
   • Quelle est la tension aux bornes de [latex]R_2[/latex] (en fonction de [latex]R_1[/latex], [latex]R_2[/latex], [latex]m[/latex] et [latex]e[/latex]) ?
   • Ramener le primaire au secondaire puis effectuer un pont diviseur de tension.

2 – Utilisation d’un transformateur

1. Exprimer [latex]v_1[/latex] en fonction de [latex]e[/latex], [latex]R_0[/latex], [latex]R_1[/latex], [latex]R_2[/latex] et [latex]m[/latex].
   • Ramener le secondaire au primaire.
   • Associer les deux résistances [latex]\frac{R_2}{m^2}[/latex] et [latex]r_1[/latex] en parallèle puis faire un pont diviseur de tension.
2. En déduire [latex]i_2[/latex] en fonction de [latex]e[/latex], [latex]R_0[/latex], [latex]R_1[/latex], [latex]R_2[/latex] et [latex]m[/latex].
   • Que vaut la tension [latex]v_2[/latex] ?
   • Utiliser la loi d’Ohm.
3. Application numérique : que vaut la valeur efficace de [latex]i_2[/latex] dans le cas où [latex]R_0 = R_1 = R_2 = \SI{1e2}{\ohm}[/latex], [latex]e = \SI{2}{V_{eff}}[/latex] et [latex]m = 10[/latex] ?

3 – Etude graphique d’un cycle d’hystérésis

1. Pourquoi est-il judicieux de choisir un tore ?
   • Prendre sous les yeux la simulation des lignes de champ dans un circuit magnétique sans entrefer (chapitre électromagnétisme 4).
   • A quels endroits ont lieu les fuites de ligne de champ ?
2. Dans ce montage, le circuit [latex]RC[/latex] (entrée [latex]u_2[/latex], sortie [latex]v_y[/latex]) fonctionne en intégrateur. Quelle condition la capacité [latex]C[/latex] doit-elle satisfaire pour cela ? Quelle(s) valeur(s) peut-on choisir pour [latex]C[/latex] parmi les valeurs usuelles suivantes : [latex]\SI{10}{nF}, \SI{47}{nF}, \SI{100}{nF}, \SI{1}{\micro F}[/latex] et [latex]\SI{4,7}{\micro F}[/latex] ?
   • Exprimer la fonction de transfert du filtre RC.
   • A quelle condition la fonction de transfert du filtre RC correspond-elle à un intégrateur ?
3. Exprimer [latex]H[/latex] en fonction de [latex]v_x[/latex] et expliquer pourquoi le montage permet de visualiser le cycle d’hystérésis.
   • Relier [latex]H[/latex] au courant [latex]i_1[/latex]. Relier [latex]i_1[/latex] à [latex]v_x[/latex].
   • Appliquer le théorème d’Ampère sur une ligne de champ moyenne.
4. Déterminer, en précisant les unités, les expressions numériques de [latex]H[/latex] en fonction de [latex]v_x[/latex] puis de [latex]B[/latex] en fonction de [latex]v_y[/latex].
   • Il s’agit de faire l’application numérique des coefficients de proportionnalité entre [latex]H[/latex] et [latex]v_x[/latex] et entre [latex]B[/latex] et [latex]v_y[/latex].
5. Déduire de cet oscillogramme les valeurs approximatives (à [latex]20\%[/latex] près) du champ magnétique rémanent [latex]B_r[/latex], de l’aimantation rémanente [latex]M_r[/latex] et du champ coercitif [latex]H_c[/latex].
   • Lire graphiquement les tensions [latex]v_x[/latex] et [latex]v_y[/latex] correspondant au champ rémanent et à l’excitation coercitive puis les convertir avec les résultats de la question précédente.
6. Établir la relation liant [latex]P_H[/latex], valeur moyenne de [latex]p_H[/latex], à l’aire [latex]\mathcal{A}[/latex] du cycle d’hystérésis représentant l’évolution de [latex]B[/latex] en fonction de [latex]H[/latex].
7. Sur l’oscillogramme, on évalue l’aire du cycle à 6 carreaux. En déduire la valeur de la puissance moyenne [latex]P_H[/latex] dissipée à cause du phénomène d’hystérésis dans l’ensemble du tore dans l’essai réalisé.
   • Utiliser les relations des questions précédentes pour convertir l’aire en carreaux en [latex]V^2[/latex] puis en [latex]A.m^{-1}.T[/latex].
8. A-t-on intérêt pour la fabrication des transformateurs à utiliser un matériau ferromagnétique ayant un champ coercitif important ou faible au contraire ? Justifier
   • L’aire du cycle d’hystérésis doit-elle être faible ou importante pour réduire les pertes ?

1 – Séchoir électrique

1. Faire le schéma du montage.
2. Tracer les chronogrammes de [latex]u(t)[/latex] et [latex]i(t)[/latex] pour les trois modes de fonctionnement, [latex]i(t)[/latex] représentant le courant total.
   • Le séchoir est-il un dipole inductif ou capacitif ? Le courant est-il en avance ou en retard sur la tension ?
3. Déterminer [latex]R_I[/latex] et [latex]R_{II}[/latex], et les calculer numériquement.
   • Quelle puissance est consommée par [latex]R[/latex] dans les modes I et II ?
   • La puissance consommée par [latex]r[/latex] et [latex]L[/latex] dépend-elle du mode ?
   • Quelle relation relie puissance reçue et tension efficace pour un résistor ?
4. En utilisant le mode [latex]F[/latex], montrer que [latex](L\omega)^2+r^2=102r[/latex].
   • Représenter [latex]\underline{Z}[/latex] l’impédance équivalente de [latex]r[/latex] et [latex]L[/latex], sur un diagramme de Fresnel. En déduire une relation entre le facteur de puissance, [latex]r[/latex], [latex]L[/latex] et [latex]\omega[/latex].
   • Comment la puissance moyenne reçue par [latex]r[/latex] et [latex]L[/latex] s’exprime-t-elle en fonction du facteur de puissance ?
5. Montrer que [latex]\tan \phi = \frac{L\omega R}{Rr+r^2+L^2\omega^2}[/latex].
   • Exprimer l’impédance équivalente totale en fonction de [latex]r[/latex], [latex]L[/latex] et [latex]R[/latex].
   • Représenter l’impédance équivalente totale sur un diagramme de Fresnel.
6. Calculer [latex]\phi_F[/latex] puis [latex]\phi_I[/latex].
   • Exprimer [latex]\tan\phi[/latex] dans les modes II et F et utiliser [latex](L\omega)^2+r^2=102r[/latex]

2 – Relèvement du facteur de puissance

1. Calculer le facteur de puissance et la valeur efficace du courant consommé par l’installation complète et commenter le résultat.
   • Déterminer l’admittance de chaque machine et des lampes, puis l’admittance totale.
   • Déterminer la partie réelle de l’admittance grâce à la puissance. Représenter l’admittance sur un diagramme de Fresnel et en déduire une relation entre [latex]\phi[/latex], la partie réelle et la partie imaginaire de m’admittance.
2. Pour réduire les pertes en lignes, on ajoute un condensateur à l’installation. Doit-on l’ajouter en parallèle ou en série ?
   • Il faut que les machines continuent à fonctionner normalement, donc que la tension à leur bornes ne soit pas modifiée par l’ajout du condensateur.
3. Calculer la valeur du condensateur pour ramener le facteur de puissance à [latex]1[/latex].
   • Que peut-on dire de l’admittance totale si le facteur de puissance est égal à 1 ?

3 – Méthode des trois ampèremètres

1. Exprimer le facteur de puissance [latex]\cos \phi_1[/latex] du dipole [latex]Z[/latex] en fonction de [latex]I_1[/latex], [latex]I_2[/latex] et [latex]I[/latex].
   • Écrire la loi des nœuds et en déduire une relation entre [latex]I[/latex], [latex]I_1[/latex] et [latex]I_2[/latex].
   • Écrire les expressions temporelles de [latex]i_1(t)[/latex] et [latex]i_2(t)[/latex]. Quelle est la définition de la valeur efficace ?
2. Calculer [latex]\cos \phi_1[/latex].

1 – Pince ampère-métrique

1. Déterminer le champ [latex]\vec{H}_I[/latex] créé dans tout l’espace par [latex]I(t)[/latex]. En déduire le flux magnétique [latex]\phi_I[/latex] reçu par le bobinage.
   • Effectuer les 4 étapes : analyse de invariances, des symétries, choix de la courbe d’Ampère et théorème d’Ampère (dans un milieu magnétique).
   • Sur quelle surface doit-on intégrer B ? Cette surface est-elle dans le tore ou en dehors ?
   • Quelle relation existe-t-il entre [latex]B[/latex] et [latex]H[/latex] dans un matériau doux ?
   • La surface d’une spire est orientée selon [latex]\vec{e}_\theta[/latex].
2. Déterminer le flux [latex]\phi_i[/latex] créé par [latex]i(t)[/latex] et reçu par le bobinage.
   • La méthode est très similaire à la question précédente.
3. Établir une équation différentielle liant [latex]u(t)[/latex] et [latex]I(t)[/latex]
   • Représenter le schéma électrique équivalent.
4. Quelle est la fonction de transfert [latex]H(p)=\frac{U(p)}{I(p)}[/latex] ? En déduire comment choisir les paramètres constitutifs de la pince afin que [latex]u[/latex] soit directement proportionnel à [latex]I[/latex].
   • Passer l’équation différentielle en complexes.
   • [latex]u[/latex] est proportionnel à [latex]I[/latex] si la fonction de transfert est indépendante de [latex]p[/latex].

2 – Permanent magnet

1. How does the hysteresis cycle needs to be for a good permanent magnet ? Should a soft or hard material be used ?
   • Le cycle d’hystérésis doit-il être fin ou épais ?
2. Show that the vector [latex]\vec{H}[/latex] is null in the electrical steel.
   • Relier [latex]B[/latex] et [latex]H[/latex] dans le matériau doux. Que vaut la perméabilité magnétique du matériau doux ?
3. Ascertain a relation between [latex]B_a[/latex] and [latex]H_a[/latex] in the magnet. Deduce graphically their value. How many solutions are their ?
   • Appliquer le théorème d’Ampère sur une ligne de champ moyenne.
   • Montrer que le champ magnétique est le même dans l’entrefer, l’aimant permanent et le matériau doux.
4. What are [latex]B_e[/latex] and [latex]H_e[/latex] value in the air gap ?