Catégorie : Physique-Chimie PSI 2024-2025

1 – Einstein relation and stability of isothermal atmosphere

1. Using the ideal gas law, ascertain the particule density [latex]n(z)[/latex].
   • Attention à ne pas confondre la quantité de matière et la densité particulaire, toutes deux notées fréquemment [latex]n[/latex].
2. Using Fick law, show that a diffusion phenomenon exists. Express the current density vector [latex]\vec{j}_\text{diff}[/latex].
3. The particules that make air are in motion at microscopic scale. The collisions between particules are modeled with a drag force [latex]\vec{f}=-\frac{m}{\tau}\vec{v}[/latex] that apply on an average particle. Make an inventory of the forces and deduce the limit speed [latex]\vec{v}[/latex] of an average particule. Deduce the current density vector [latex]\vec{j}_\text{mig}[/latex] due to the gravitation.
   • Le modèle proposé ressemble au modèle de Drude. Appliquer la loi de la quantité de mouvement en régime stationnaire.
   • Relier la vitesse au vecteur densité de courant de particules.
4. By making an inventory of the particules on a slice of atmosphere in a stationary state, express a relation between [latex]D[/latex], [latex]\tau[/latex], [latex]k_B[/latex], [latex]T[/latex] and [latex]m[/latex]. This relation is known as Einstein relation.
   • Faire un bilan de particules sur une tranche infinitésimale d’atmosphère. Quatre flux de particules y rentrent : du à la gravitation et du à la diffusion, en [latex]z[/latex] et en [latex]d+dz[/latex].

2 – Taille critique d’une bactérie aérobie

1. Rappeler la loi de Fick reliant le vecteur densité de courant particulaire [latex]\vec{j}=j(r)\vec{u_r}[/latex] à la densité particulaire [latex]n(r)[/latex].
2. Quelle est l’unité de [latex]D[/latex].
3. Établir l’équation de diffusion de particules en coordonnées sphériques.
   • Faire un bilan de particules sur un volume infinitésimal ou sur une boule creuse d’épaisseur infinitésimale.
4. Exprimer le nombre [latex]\phi(r)[/latex] de molécules de \ce{O2} qui traversent par unité de temps une sphère de rayon [latex]r[/latex] ([latex]r>R[/latex]) en fonction de [latex]j(r)[/latex] et de [latex]r[/latex]. Justifier que [latex]\phi[/latex] ne dépend pas du rayon [latex]r[/latex] de la sphère considérée.
5. Déterminer l’expression de la densité particulaire [latex]n(r)[/latex] en \ce{O2} dissous dans l’eau. On exprimera les deux constantes d’intégration en fonction de [latex]D[/latex], [latex]\phi[/latex], [latex]\mathcal{N}_A[/latex] et [latex]c_0[/latex]. En déduire la densité particulaire [latex]n_R[/latex] en surface de la bactérie, en [latex]r=R[/latex].
   • Résoudre l’équation de diffusion en régime stationnaire.
   • Déterminer les constantes en utilisant la densité particulaire à l’infini et le flux particulaire.
6. En étudiant la consommation en \ce{O2} de la bactérie pendant une durée [latex]dt[/latex], exprimer [latex]\phi[/latex] en fonction de [latex]a[/latex], [latex]\mathcal{N}_A[/latex], de la masse volumique [latex]\mu[/latex] de la bactérie et de son rayon [latex]R[/latex].
   • La consommation de [latex]\ce{O2}[/latex] de la bactérie est le flux particulaire d'[latex]\ce{O2}[/latex] arrivant à la bactérie.
7. En déduire l’expression de [latex]n_R[/latex]. Comment varie [latex]n_R[/latex] en fonction de [latex]R[/latex].
8. Quelle inégalité doit vérifier [latex]n_R[/latex] pour que la bactérie ne suffoque pas. En déduire l’expression du rayon critique [latex]R_c[/latex] d’une bactérie aérobie. Effectuer l’application pour [latex]a=\SI{2e-2}{mol.kg^{-1}.s^{-1}}[/latex]. Comparer ce résultat à la dimension caractéristique [latex]R=1[/latex] à [latex]\SI{10}{\mu m}[/latex] d’une bactérie réelle.
   • La densité particulaire ne peut pas être négative.

3 – Désintégration de l’uranium 235

1. En faisant un bilan de neutron sur une volume mésoscopique, démontrer l’équation fondamentale de la neutronique [latex display= »true »]\frac{\partial N}{\partial t}=-\divv\vec{j}+\frac{\nu-1}{\tau}N(x,y,z,t)[/latex]
   • Combien de neutrons sont captés durant [latex]dt[/latex] dans le volume considéré ? Combien sont émis ?
2. On considère une sphère de rayon [latex]R[/latex] d’uranium 235 et on suppose le problème à symétrie sphérique. On recherche une solution de l’équation ci-dessus sous la forme [latex]N(r,t) = \frac{f(t)g(r)}{r}[/latex]. Déterminer les équations vérifiées par [latex]f[/latex] et par [latex]g[/latex].
   • Il faut procéder par séparation des variables.
3. On prend pour condition aux limites [latex]N(r=R)=0[/latex]. Justifier.
4. Quelles sont les différentes formes de solution pour [latex]g(r)[/latex]. Lesquelles décrivent physiquement la réaction en chaine d’une bombe nucléire ? Résoudre l’équation différentielle sur [latex]g(r)[/latex].
   • Distinguer les cas sur le discriminent et utiliser les conditions aux limites pour trouver les constantes.
   • Une solution constamment nulle ne décrit pas une explosion nucléaire.
5. En déduire la solution de l’équation sur [latex]f(t)[/latex].
6. Sous quelle condition sur le rayon la réaction s’emballe-t-elle ?
7. Quelle masse minimale doit donc avoir une bombe nucléaire ?

1 – Conduction thermique dans un mur

1. Quelles sont les conditions aux limites vérifiées à chaque interface (par [latex]T[/latex] ou par [latex]\vec{j}[/latex]) ?
   • A quelle condition [latex]\vec{j}[/latex] est-il continu ?
   • A quelle condition [latex]T[/latex] est-il continu ?
2. Calculer la résistance thermique associée à chaque partie du mur (en pierre et en laine de verre).
   • Appliquer la formule du cours reliant résistance thermique, épaisseur, surface et conductivité thermique.
3. Montrer que la loi de Newton peut donner lieu à une résistance thermique qu’on précisera.
   • Exprimer la différence de température en fonction du flux thermique pour la loi de Newton.
4. Tracer le circuit équivalent et calculer la résistance équivalente.
   • Le circuit comporte 4 résistances thermiques.
5. Quelle puissance doit fournir le radiateur de la pièce ?
   • Calculer le flux total traversant le mur.
   • Effectuer un bilan d’énergie sur l’intérieur de la maison pour montrer que la puissance fournie par le chauffage doit compenser exactement la puissance perdue par les murs.

2 – Fil parcouru par un courant électrique

1. Dans quelle direction de déplace les charges ? Même question pour la chaleur.
   • Utiliser la loi de Fourier et la loi d’Ohm locale.
2. Établir l’équation de la diffusion thermique en prenant en compte la puissance produite par effet Joule.
   • Faire un bilan d’énergie sur un cylindre creux ou un volume infinitésimal.
3. Intégrer l’équation de diffusion en régime stationnaire et pour une température extérieure du fil [latex]T_0[/latex] connue. Tracer [latex]T(r)[/latex].
   • Utiliser comme condition aux limites le fait que [latex]j[/latex] et [latex]T[/latex] ne divergent pas en [latex]0[/latex].
4. Intégrer l’équation de diffusion en régime stationnaire et avec comme condition aux limites la loi de Newton : [latex]\vec{j}_\text{thé} = h (T(R)-T_\text{air})\vec{e}[/latex] où [latex]\vec{e}[/latex] est dirigé vers l’extérieur du fil. Tracer [latex]T(r)[/latex].

3 – Size of marine mammals

1. Establish the thermal diffusion equation in water (in spherical coordinates).
   • Faire un bilan d’énergie sur un volume infinitésimal ou une boule creuse.
2. Ascertain the temperature [latex]T(r)[/latex] around the animal in stationnary state.
   • Résoudre l’équation précédente en régime stationnaire.
3. Determine the thermal power lost by the mammal by integrating [latex]\vec{j}_\text{th}[/latex].
   • La puissance perdue par l’animal est le flux thermique sortant de l’animal en [latex]r=R[/latex].
4. Explain why there is no small aquatic mammal.
   • Déterminer la puissance volumique produite par l’animal et montrer qu’elle est d’autant plus grande que l’animal est petit.

4 – Ailette de refroidissement

1. Montrer que l’équation différentielle vérifiée par [latex]T(x)[/latex] peut se mettre sous la forme [latex]\frac{d^2T}{dx^2}-\frac{T(x)-T_a}{L^2}=0[/latex] où on exprimera [latex]L[/latex] en fonction de [latex]\lambda[/latex], [latex]h[/latex] et [latex]e[/latex]. Calculer la valeur numérique de [latex]L[/latex].
   • Faire un bilan d’énergie sur une tranche de longueur infinitésimale. Quels sont les 3 flux thermiques entrant dans cette tranche ?
   • Dans une tranche infinitésimale d’ailette, de la puissance rentre par conduction en [latex]x[/latex] et en [latex]x+dx[/latex] et par conducto-convection sur les 4 parois latérales.
2. Justifier les deux conditions aux limites suivantes : [latex]T(0)=T_0[/latex] et [latex]-\lambda \frac{dT}{dx}(x=l) = h(T(l)-T_a)[/latex].
   • Écrire la continuité du flux thermique en [latex]x=l[/latex].
3. Exprimer [latex]T(x)[/latex] en fonction de [latex]x[/latex] et le mettre sous la forme : [latex]T(x)=T_1+T_2(\cosh(\frac{x}{L})-f(l,L,\lambda,h)\sinh(\frac{x}{L}))[/latex].
4. Montrer que compte tenu de la longueur de l’ailette, la température de l’ailette est approximativement constante et égale à [latex]T_0[/latex] (on montrera que l’erreur relative commise sous cette hypothèse est inférieur à [latex]1\%[/latex]). On considère maintenant la température de l’ailette égale à [latex]T_0[/latex].
   • Faire l’application numérique du terme en facteur de [latex]T_0[/latex].
5. Calculer l’expression de la puissance thermique [latex]\mathcal{P}[/latex] échangée entre l’ailette et l’air.
6. Déterminer la puissance thermique [latex]\mathcal{P}'[/latex] échangée entre le corps de température [latex]T_0[/latex] et l’air ambiant par la surface d’air [latex]S’=Avé[/latex] en l’absence d’ailette ([latex]S'[/latex] est la surface de la base de l’ailette). En déduire l’expression de l’efficacité [latex]\eta = \frac{\mathcal{P}}{\mathcal{P}’}[/latex]. Calculer la valeur.

1 – Resistance of a holed cylinder

1. In which direction is [latex]\vec{j}[/latex] oriented ?
   • Le courant va des potentiels les plus élevés vers les potentiels les moins élevés.
2. Why is the flux of [latex]\vec{j}[/latex] conservative ? By applying this on a cylinders of any radius [latex]r[/latex], deduce that [latex]\vec{j}=C/r\vec{e_r}[/latex] where [latex]C[/latex] is a constant that you will express as a function of [latex]I[/latex] and [latex]l[/latex].
   • Laquelle des hypothèses de l’énoncé implique-t-elle que le régime est stationnaire ?
   • Exprimer le courant à travers un cylindre de rayon [latex]r[/latex] et de hauteur [latex]l[/latex] en fonction de [latex]j[/latex], [latex]l[/latex] et [latex]r[/latex].
3. By integrating the previous expression between [latex]R_1[/latex] and [latex]R_2[/latex] and using Ohm’s law, determine the resistance of the tube.

2 – Effet Hall

1. Faire un bilan des forces s’exerçant sur un électron du conducteur ohmique.
   • Le poids peut être négligé. La composante magnétique et la composante électrique de la force de Lorentz sont toutes deux non-nulles.
2. En régime stationnaire, les lignes de courant sont suivant [latex]\vec{e_y}[/latex]. En déduire une expression de la composante [latex]E_x[/latex] du champ électrique suivant [latex]\vec{e_x}[/latex] en fonction de la charge [latex]e[/latex] d’un porteur, de leur densité [latex]n[/latex], de [latex]\vec{j}[/latex] et de [latex]\vec{B}[/latex].
   • Projeter le théorème de la quantité de mouvement suivant [latex]\vec{e}_x[/latex].
3. En déduire la différence de potentiel existant entre les faces [latex]x=-\frac{a}{2}[/latex] et [latex]x=\frac{a}{2}[/latex]. L’exprimer en fonction de [latex]I[/latex] et d’un paramètre qu’on notera [latex]R_\text{Hall}[/latex] et dont on donnera l’unité.
   • Relier la circulation du champ électrique à la différence de potentiel.
4. Évaluer la valeur de [latex]R_\text{Hall}[/latex] pour le champ magnétique terrestre dans le cas du cuivre ([latex]M_{\ce{Cu}}=\SI{63.5}{g.mol^{-1}}[/latex] ; [latex]\mu_{\ce{Cu}}=\SI{8.96}{g.cm^{-3}}[/latex]) \textbf{puis} d’un semi-conducteur de densité volumique de charges [latex]n=\SI{1.6e22}{m^{-3}}[/latex]. Est-il possible d’utiliser ce dispositif pour mesurer le champ magnétique terrestre dans les deux cas ?

3 – Paratonnerre

1. [latex]\vec{j}[/latex] est-il à flux conservatif dans le sol ? En déduire la dépendance en [latex]r[/latex] de [latex]\vec{j}[/latex].
   • Exprimer le courant passant dans une demi sphère dans le sol, de rayon [latex]r[/latex] en fonction de [latex]r[/latex] et [latex]j[/latex]. Ce courant dépend-il de [latex]r[/latex] ?
2. En déduire l’expression de [latex]V(r)[/latex] en supposant que [latex]V[/latex] vaut [latex]0[/latex] à l’infini.
   • Utiliser la loi d’Ohm locale.
   • Déterminer la circulation du champ électrique entre [latex]r[/latex] et [latex]+\infty[/latex].
3. Exprimer le potentien du paratonnerre en fonction du courant qui le parcourt et introduire la <>.
   • Que donne la relation précédente en prenant [latex]r=R[/latex] ?
4. Cette résistance ne doit pas dépasse \SI{30}{\ohm}. Déterminer le rayon minimum de la demi-sphère.
5. Pour un éclair, le courant peut atteindre \SI{300}{kA}. Tracer [latex]V(r)[/latex] et faire l’application numérique de [latex]V(R)[/latex].
6. Une personne qui n’a pas les deux pieds à la même distance de la demi-sphère peut avoir ses pieds à un potentiel différent. Sachant que la résistance entre ses pieds est de l’ordre \SI{5}{k\ohm} et qu’un courant de \SI{25}{mA} à travers le corps peut être dangereux, calculer la distance minimum à laquelle un homme doit se tenir de la demi-sphère en cas d’orage. Comparer à la valeur proposée sur la photo et proposer une explication à l’éventuel écart.
   • Calculer la différence de potentiel maximale admissible entre deux pieds d’un être humain.
   • Quelle distance [latex]d[/latex] y a-t-il typiquement entre deux pieds.
   • Dans le pire des cas, les pieds sont <> : leurs coordonnées [latex]r[/latex] sont séparées de [latex]d[/latex].

4 – Magnéto-résistance

1. En reprenant le modèle de Drude, déterminer l’expression de la vitesse [latex]\vec{v}[/latex] des porteurs de charges puis [latex]\vec{j}[/latex].
   • Écrire la seconde loi de Newton en régime stationnaire. Les forces sont la force de frottement fluide modélisant les chocs avec le réseau cristallin et la force de Lorentz (partie magnétique et partie électrique).
   • Projeter la seconde loi de Newton selon [latex]r[/latex] et [latex]\theta[/latex]. Combiner ces équations pour isoler les composantes de [latex]\vec{v}[/latex] selon [latex]\vec{e}_r[/latex] et [latex]\vec{e}_\theta[/latex].
2. En utilisant la même méthode que dans l’exercice précédant, déterminer l’expression de la résistance [latex]R[/latex] du système.
   • Exprimer la circulation de [latex]E[/latex] puis celle de [latex]j[/latex] entre [latex]R_1[/latex] et [latex]R_2[/latex].
   • Relier la composante de [latex]\vec{j}[/latex] selon [latex]r[/latex] à [latex]I[/latex].

1 – Hachage sur charge inductive

1. Dans quel état est la diode sur [latex][0,\alpha T][/latex] ? sur [latex][\alpha T,T][/latex] ?
   • Lorsque le transistor est passant, quel doit être l’état de la diode ? Lorsque le transistor est bloqué, quel doit être l’état de la diode ?
2. Établir les équations différentielles qui régissent l’évolution du courant [latex]i_s[/latex], sur [latex][0,\alpha T][/latex] et [latex][\alpha T,T][/latex].
   • Dans chacun des cas, redessiner le schéma avec les interrupteurs dans le bon état.
   • Appliquer la loi des mailles dans chacun des cas.
3. Résoudre les équations différentielles sur [latex]i_s[/latex], sans chercher à exprimer les constantes. À quelle condition sur les valeurs de [latex]r[/latex], [latex]L[/latex], et [latex]T[/latex], l’évolution du courant dans la charge est-elle affine par morceau ? On répondra qualitativement à la question.
   • A quelle condition le développement limité de l’exponentielle donne-t-il une fonction affine ?
4. Établir l’expression de la valeur moyenne de l’intensité du courant dans la charge en fonction de [latex]\alpha[/latex], [latex]E[/latex] et [latex]r[/latex]. Effectuer l’application numérique.
   • Relier les valeurs moyenne de [latex]u_s[/latex], [latex]u_L[/latex] et [latex]u_r[/latex].
   • Exprimer la valeur moyenne de [latex]u_s[/latex] en fonction de [latex]\alpha[/latex] et [latex]E[/latex]. On pourra tracer un chronogramme de [latex]u_s[/latex].
   • Que vaut la valeur moyenne de [latex]u_L[/latex] ?

2 – Hachage à stockage inductif

1. Montrer que la commande des deux interrupteurs doit être complémentaire (ni ouverts ni fermés tous les deux en même temps).
   • La bobine est-elle un dipole de type source de tension ou source de courant ?
2. Identifier les interrupteurs à utiliser en traçant leur caractéristique courant-tension.
   • Lorsque [latex]K_1[/latex] est ouvert, quel est le signe de [latex]u_1[/latex]. Quand il est fermé, quel est le signe de [latex]i_1[/latex]. Même question pour [latex]K_2[/latex].
3. Tracer la forme d’onde de la tension aux bornes de la bobine. En déduire une relation entre [latex]U[/latex], [latex]U'[/latex] et [latex]\alpha[/latex].
   • Écrire la tension aux bornes de la bobine comme une dérivée. Que vaut la moyenne d’une dérivée ?
   • Exprimer la valeur moyenne de [latex]u_L[/latex] en fonction de [latex]\alpha[/latex], [latex]U[/latex] et [latex]U'[/latex].
4. Tracer les formes d’ondes des courants dans la bobine [latex]i_L[/latex] et dans les sources d’entrée [latex]i[/latex] et de sortie [latex]i'[/latex]. On ne cherchera pas à identifier les constantes.
   • Déterminer l’équation différentielle vérifiée par [latex]i_L[/latex] entre [latex]0[/latex] et [latex]\alpha T[/latex] et entre [latex]\alpha T[/latex] et [latex]T[/latex].
   • Résoudre cette équation différentielle sans cherche à exprimer la constante.
   • Relier [latex]i[/latex] et [latex]i'[/latex] à [latex]i_L[/latex] entre [latex]0[/latex] et [latex]\alpha T[/latex] et entre [latex]\alpha T[/latex] et [latex]T[/latex].
5. Exprimer les valeurs moyennes [latex]I[/latex] et [latex]I'[/latex] des courants [latex]i(t)[/latex] et [latex]i'(t)[/latex] en fonction de la valeur moyenne [latex]I_L[/latex] du courant [latex]i_L(t)[/latex] dans la bobine.
   • Raisonner géométriquement sur les aires dans le chronogramme.
6. En déduire l’expression du rapport [latex]I’/I[/latex] en fonction de [latex]\alpha[/latex]. Que dire du cas [latex]\alpha=1[/latex] ?
7. Dresser un bilan de puissance en exprimant la puissance moyenne cédée par la source de tension [latex]U[/latex], la puissance moyenne consommée par celle de tension [latex]U'[/latex] et le rendement.
8. Quels interrupteurs faudrait-il choisir si le courant dans la bobine était toujours négatif ?
   • Reprendre les indications de la question 3.

3 – Hacheur en pont

1. Dresser la liste de tous les états pour les interrupteurs. Préciser les états autorisés. Dans la suite, on ne s’intéresse qu’aux états qui permettent un transfert de puissance entre l’entrée et la sortie. Quels sont-ils ?
   • Pour dresser la liste des états sans en oublier, on peut s’inspirer du comptage en binaire.
   • La source de tension de doit pas être court-circuitée. La source de courant ne doit pas être en circuit ouvert.
   • Pour que de la puissance soit transférée entre l’entrée et la sortie, il faut que les deux sources soient dans la même maille.
2. En étudiant les contraintes qui pèsent sur les interrupteurs, préciser quels interrupteurs choisir.
   • Tracer les caractéristiques des 4 interrupteurs et placer dessus les deux points de fonctionnements correspondant aux deux états retenus.
   • Pour chacun des deux états retenus, indiquer le signe de la tension et du courant pour chaque interrupteur. On veillera à placer les tensions en convention récepteur.
3. Le hacheur fonctionne de manière périodique. Les interrupteurs commandés sont fermés sur [latex][0,\alpha T][/latex] et ouverts sur [latex][\alpha T, T][/latex]. Comment nomme-t-on [latex]\alpha[/latex].
4. Tracer les formes d’onde de l’intensité [latex]i_e[/latex] du courant en entrée et de la tension [latex]u[/latex] en sortie. En déduire les valeurs moyennes [latex]I_e[/latex] et [latex]U[/latex] de [latex]i_e[/latex] et [latex]u[/latex]. Quelle est la particularité de ce hacheur.
   • Quels sont les ensembles de valeurs que peuvent prendre [latex]U[/latex] et [latex]I_e[/latex] ?
5. Calculer les puissances délivrées par la source d’entrée et absorbée par celle de sortie. En déduire le rendement du hacheur.

4 – Improvement of the yield of a continuous voltage source

1. For the circuit (a), calculate the mean voltage on [latex]R[/latex] and then the yield of the device.
2. For the circuit (b), calculate the mean voltage on the capacitor (some approximations can be made). Calculate the yield for the device.

1 – Couple de mutuelle et règle du flux maximal

1. Déterminer l’inductance mutuelle [latex]M[/latex] entre les deux circuits.
   • Donner le champ magnétique créé par le solénoïde. Déterminer le flux de ce champ sur le cadre.
   • Quelle est la direction du champ créé par le solénoïde ? Quelle est celle de la surface élémentaire du cadre ?
   • Quelle relation relie le flux mutuel et l’inductance mutuelle ?
2. On note [latex]L[/latex] et [latex]L'[/latex], les inductances propres respectives de la spire et du solénoïde. Donner l’énergie électromagnétique [latex]\mathcal{E}_{em}[/latex] stockée dans ces deux circuits.
3. Le solénoïde étant fixe, calculer le couple électromagnétique [latex]\Gamma=\left(\frac{\partial \mathcal{E}_{em}}{\partial \theta}\right)_{I,I’}[/latex] que subit la spire.
4. La règle du flux maximal stipule que les actions électromagnétiques agissent sur un circuit mobile de telle sorte qu’il soit traversé par un flux maximal. Vérifier que le système formé par la spire et le solénoïde suit bien cette règle.
   • Vers quelle position d’équilibre le couple électromagnétique ramène-t-il le cadre ? Pour quelle position du cadre le flux est-il maximal ?

2 – Étude d’un moteur synchrone

1. Déterminer la fréquence des tension statoriques quand [latex]n=\SI{1500}{tr.min^{-1}}[/latex].
   • Écrire la condition de synchrone (donnée dans l’énoncé). Attention aux unités.
2. Représenter le diagramme vectoriel relatif à l’essai n°2. La résistance [latex]R[/latex] n’étant pas négligée, en déduire la valeur numérique de [latex]L[/latex].
   • Que vaut le courant dans l’essai n°1 ? Écrire la loi des mailles pour l’essai n°1 et en déduire la force contre-électromotrice.
   • Écrire la loi des mailles pour l’essai n°2 en utilisant la valeur de [latex]\Phi[/latex] donnée.
   • Écrire le théorème de Pythagore dans le triangle apparaissant sur le diagramme de Fresnel.
3. La valeur efficace de la force contre-électromotrice [latex]E[/latex] a pour expression [latex]E=\Phi_0\omega[/latex]. Quelle est l’unité de la constante [latex]\Phi_0[/latex] dans le système SI ? Que représente-t-elle ? De quels paramètres de la machine dépend-elle ? Montrer que [latex]E=A\Omega[/latex], où [latex]A[/latex] est une constante dont on précisera l’expression et la valeur numérique.
   • Utiliser la condition de synchronisme.
4. Dans toute la suite, on négligera la chute de tension ohmique ainsi que les pertes par effet Joule dans les circuits statoriques. Tracer un diagramme vectoriel représentatif d’un point de fonctionnement quelconque dans le cas où [latex]0\lt\Psi\lt\pi/2[/latex]. En déduire une relation entre [latex]V[/latex], [latex]E[/latex], [latex]\phi[/latex] et [latex]\Psi[/latex].
   • Écrire la loi des mailles dans un circuit statorique puis la représenter sur un diagramme de Fresnel. Représenter les angles [latex]\phi[/latex] et [latex]\Psi[/latex] sur le diagramme.
   • Relier géométriquement les projections de [latex]\underline{V}[/latex] et [latex]\underline{E}[/latex] sur l’axe des abscisses. En déduire une relation mathématique en utilisant la trigonométrie.
5. Déterminer l’expression de la puissance électrique [latex]P_a[/latex] absorbée par le moteur en fonction de [latex]V[/latex], [latex]I[/latex] et [latex]\phi[/latex], puis en fonction de [latex]E[/latex], [latex]I[/latex] et [latex]\Psi[/latex]. Quelle relation existe-t-il entre cette puissance électrique [latex]P_a[/latex] et la puissance mécanique électromagnétique [latex]P_m[/latex] reçue par le rotor ?
   • Attention, il y a deux phases à prendre en compte.
   • Rappel des hypothèses : pertes Joules négligeables.
6. Exprimer le couple électromécanique [latex]C[/latex] développé par le moteur en fonction de [latex]A[/latex], [latex]I[/latex] et [latex]\Psi[/latex]. Pour une intensité efficace [latex]I[/latex] donnée, que doit-on faire pour maximiser le couple développé par la machine ? De quelle unique variable le couple dépend-il alors ? À quelle autre moteur ce fonctionnement fait-il penser ?
   • Exprimer la puissance mécanique en fonction du couple et de la vitesse angulaire puis la relier avec l’expression de la question précédente.
   • Pour quelle valeur de [latex]\Psi[/latex] le couple est-il maximal ?
7. On se place sur un point de fonctionnement à [latex]\Psi⁼0[/latex], [latex]I=I_N[/latex] et [latex]n=\SI{1500}{tr.min^{-1}}[/latex]. Que vaut le moment du couple [latex]C[/latex] développé par le moteur ? Représenter le diagramme vectoriel représentatif du fonctionnement. Placer les vecteurs représentatifs des complexes [latex]\underline{E}[/latex], [latex]\underline{V}[/latex] et [latex]\underline{I}[/latex]. En déduire les expressions numériques de [latex]V[/latex] et [latex]\phi[/latex]. Calculer leurs valeurs numériques correspondantes.
   • Représenter le diagramme de Fresnel et utiliser la trigonométrie pour déterminer [latex]\phi[/latex] puis [latex]V[/latex].

3 – Alternateur d’une centrale hydroélectrique

1. Calculer l’intensité du courant d’induit nominal.
   • Exprimer la puissance apparente nominale en fonction de la tension nominale et du courant nominal.
2. Calculer la résistance synchrone [latex]X=L\omega[/latex] de chaque enroulement.
   • Utiliser le courant de court-circuit.
   • Représenter le circuit équivalent d’une phase en court-circuit.
   • Représenter le diagramme de Fresnel associé à la loi des mailles pour un induit court-circuité.
   • Utiliser le théorème de Pythagore.
3. Fonctionnement en charge. L’intensité du courant d’excitation vaut [latex]I_e=\SI{44}{A}[/latex], la tension efficace aux bornes d’une phase est \SI{8.64}{kV} et le facteur de puissance du réseau vaut [latex]\cos(\phi)=0.9[/latex] arrière (charge inductive). Représenter le schéma électrique d’une phase en négligeant la résistance [latex]R[/latex].
4. Représenter la loi des mailles sur un diagramme de Fresnel. Montrer que [latex](V\cos(\phi))^2+(V\sin(\phi)+IX)^2=E^2[/latex]. En déduire l’intensité efficace du courant dans une phase statorique.
   • Placer l’angle [latex]\phi[/latex] sur le diagramme.
   • Projeter [latex]jX\underline{X}[/latex] verticalement et horizontalement.
5. Calculer la puissance fournie au réseau et le rendement de l’alternateur sachant que l’ensemble des pertes mécaniques, ferromagnétiques et d’excitation valent [latex]P_p=\SI{2.4}{MW}[/latex].
   • Exprimer la puissance fournie au réseau par l’alternateur en fonction de [latex]V[/latex], [latex]I[/latex] et [latex]\cos(\phi)[/latex]. Attention, on étudie un alternateur diphasé.
   • Comment s’exprimer les pertes joules statoriques ?

4 – Détermination des paramètres d’un moteur synchrone

1. En régime permanent de rotation, quelle est la relation entre la vitesse de rotation du rotor [latex]\Omega[/latex] et [latex]\omega[/latex] ?
2. Rappeler le schéma électrique d’une phase en fonctionnement moteur et en fonctionnement générateur.
3. La valeur efficace de la force contre-électromotrice s’écrit sous la forme [latex]E=\Phi\omega[/latex], où [latex]\omega[/latex] désigne la vitesse de rotation du rotor. Que représente la grandeur [latex]\Phi[/latex] ? De quels paramètres dépend-elle ?
4. Afin de mesurer [latex]\Phi[/latex], on réalise un essai en circuit ouvert, le rotor de la machine synchrone étant entrainé par un moteur auxiliaire à la vitesse de \SI{6.0e3}{tr/min}, on mesure la tension efficace aux bornes d’une phase égale à \SI{1.2e2}{V}. Calculer la valeur de [latex]\Phi[/latex].
   • D’après la loi de Lenz-Faraday, quelle relation lie [latex]\underline{\Phi}[/latex] à [latex]\underline{E}[/latex] ?
   • Relier la tension aux bornes de l’induit à la force contre-électromotrice pour cet essai.
5. Pour mesurer la valeur de l’inductance d’une phase, on réalise un essai en court-circuit, le rotor étant toujours entrainé par le moteur auxiliaire à \SI{6.0e3}{tr/min}. Le dipôle de sortie d’une phase étant court-circuité, la mesure de l’intensité efficace du courant de court-circuit dans une phase donne la valeur [latex]I_{cc}=\SI{1.2e2}{A}[/latex]. Calculer l’inductance [latex]L[/latex] d’une phase.
   • Grâce à une loi des mailles, relier [latex]\underline{E}[/latex] à [latex]L[/latex], [latex]\omega[/latex] et [latex]\underline{I}[/latex] pour cet essai.

5 – DC motor lifting a mass

1. Ascertain the current [latex]i[/latex] and the voltage [latex]E_0[/latex] delivered by the generator as a function of [latex]M[/latex], [latex]g[/latex], [latex]a[/latex], [latex]\Phi_0[/latex], [latex]f[/latex], [latex]r[/latex], [latex]r_0[/latex].
   • Écrire une équation électrique et une équation mécanique et utiliser les relations entre grandeurs mécaniques et électriques pour une machine à courant continu.
   • Pour l’équation électrique, écrire la loi des mailles dans le circuit électrique équivalent de l’induit.
   • Pour l’équation mécanique, écrire le théorème du moment cinétique au système masse + cable + poulie + rotor.

6 – Rendement d’une génératrice à courant continu

1. Représenter le schéma électrique de l’induit alimentant la charge électrique (on placera la machine à courant continu en convension générateur). Préciser l’expression du couple électromagnétique qu’exerce la machine en fonction de [latex]\Phi_0[/latex] et [latex]i[/latex].
2. Calculer les valeurs de l’intensité du courant dans le charge et la vitesse de rotation de la machine.
   • Écrire une équation électrique et une équation mécanique et utiliser les relations entre grandeurs mécaniques et électriques pour une machine à courant continu.
   • Pour l’équation électrique, écrire la loi des mailles dans le circuit électrique équivalent de l’induit.
   • Pour l’équation mécanique, écrire le théorème du moment cinétique au rotor.
3. Définir puis calculer le rendement de conversion de la machine? La machine fonctionne-t-elle dans les conditions nominales ?
   • Calculer la tension aux bornes du moteur. Est-elle égale à la tension nominale ?

1 – Impedance matching

1. At which condition on the transformation ratio [latex]m[/latex] is the power dissipated by the resistor [latex]R_2[/latex] maximal ?
   • Quelle est la tension aux bornes de [latex]R_2[/latex] (en fonction de [latex]R_1[/latex], [latex]R_2[/latex], [latex]m[/latex] et [latex]e[/latex]) ?
   • Ramener le primaire au secondaire puis effectuer un pont diviseur de tension.

2 – Utilisation d’un transformateur

1. Exprimer [latex]v_1[/latex] en fonction de [latex]e[/latex], [latex]R_0[/latex], [latex]R_1[/latex], [latex]R_2[/latex] et [latex]m[/latex].
   • Ramener le secondaire au primaire.
   • Associer les deux résistances [latex]\frac{R_2}{m^2}[/latex] et [latex]r_1[/latex] en parallèle puis faire un pont diviseur de tension.
2. En déduire [latex]i_2[/latex] en fonction de [latex]e[/latex], [latex]R_0[/latex], [latex]R_1[/latex], [latex]R_2[/latex] et [latex]m[/latex].
   • Que vaut la tension [latex]v_2[/latex] ?
   • Utiliser la loi d’Ohm.
3. Application numérique : que vaut la valeur efficace de [latex]i_2[/latex] dans le cas où [latex]R_0 = R_1 = R_2 = \SI{1e2}{\ohm}[/latex], [latex]e = \SI{2}{V_{eff}}[/latex] et [latex]m = 10[/latex] ?

3 – Etude graphique d’un cycle d’hystérésis

1. Pourquoi est-il judicieux de choisir un tore ?
   • Prendre sous les yeux la simulation des lignes de champ dans un circuit magnétique sans entrefer (chapitre électromagnétisme 4).
   • A quels endroits ont lieu les fuites de ligne de champ ?
2. Dans ce montage, le circuit [latex]RC[/latex] (entrée [latex]u_2[/latex], sortie [latex]v_y[/latex]) fonctionne en intégrateur. Quelle condition la capacité [latex]C[/latex] doit-elle satisfaire pour cela ? Quelle(s) valeur(s) peut-on choisir pour [latex]C[/latex] parmi les valeurs usuelles suivantes : [latex]\SI{10}{nF}, \SI{47}{nF}, \SI{100}{nF}, \SI{1}{\micro F}[/latex] et [latex]\SI{4,7}{\micro F}[/latex] ?
   • Exprimer la fonction de transfert du filtre RC.
   • A quelle condition la fonction de transfert du filtre RC correspond-elle à un intégrateur ?
3. Exprimer [latex]H[/latex] en fonction de [latex]v_x[/latex] et expliquer pourquoi le montage permet de visualiser le cycle d’hystérésis.
   • Relier [latex]H[/latex] au courant [latex]i_1[/latex]. Relier [latex]i_1[/latex] à [latex]v_x[/latex].
   • Appliquer le théorème d’Ampère sur une ligne de champ moyenne.
4. Déterminer, en précisant les unités, les expressions numériques de [latex]H[/latex] en fonction de [latex]v_x[/latex] puis de [latex]B[/latex] en fonction de [latex]v_y[/latex].
   • Il s’agit de faire l’application numérique des coefficients de proportionnalité entre [latex]H[/latex] et [latex]v_x[/latex] et entre [latex]B[/latex] et [latex]v_y[/latex].
5. Déduire de cet oscillogramme les valeurs approximatives (à [latex]20\%[/latex] près) du champ magnétique rémanent [latex]B_r[/latex], de l’aimantation rémanente [latex]M_r[/latex] et du champ coercitif [latex]H_c[/latex].
   • Lire graphiquement les tensions [latex]v_x[/latex] et [latex]v_y[/latex] correspondant au champ rémanent et à l’excitation coercitive puis les convertir avec les résultats de la question précédente.
6. Établir la relation liant [latex]P_H[/latex], valeur moyenne de [latex]p_H[/latex], à l’aire [latex]\mathcal{A}[/latex] du cycle d’hystérésis représentant l’évolution de [latex]B[/latex] en fonction de [latex]H[/latex].
7. Sur l’oscillogramme, on évalue l’aire du cycle à 6 carreaux. En déduire la valeur de la puissance moyenne [latex]P_H[/latex] dissipée à cause du phénomène d’hystérésis dans l’ensemble du tore dans l’essai réalisé.
   • Utiliser les relations des questions précédentes pour convertir l’aire en carreaux en [latex]V^2[/latex] puis en [latex]A.m^{-1}.T[/latex].
8. A-t-on intérêt pour la fabrication des transformateurs à utiliser un matériau ferromagnétique ayant un champ coercitif important ou faible au contraire ? Justifier
   • L’aire du cycle d’hystérésis doit-elle être faible ou importante pour réduire les pertes ?

1 – Séchoir électrique

1. Faire le schéma du montage.
2. Tracer les chronogrammes de [latex]u(t)[/latex] et [latex]i(t)[/latex] pour les trois modes de fonctionnement, [latex]i(t)[/latex] représentant le courant total.
   • Le séchoir est-il un dipole inductif ou capacitif ? Le courant est-il en avance ou en retard sur la tension ?
3. Déterminer [latex]R_I[/latex] et [latex]R_{II}[/latex], et les calculer numériquement.
   • Quelle puissance est consommée par [latex]R[/latex] dans les modes I et II ?
   • La puissance consommée par [latex]r[/latex] et [latex]L[/latex] dépend-elle du mode ?
   • Quelle relation relie puissance reçue et tension efficace pour un résistor ?
4. En utilisant le mode [latex]F[/latex], montrer que [latex](L\omega)^2+r^2=102r[/latex].
   • Représenter [latex]\underline{Z}[/latex] l’impédance équivalente de [latex]r[/latex] et [latex]L[/latex], sur un diagramme de Fresnel. En déduire une relation entre le facteur de puissance, [latex]r[/latex], [latex]L[/latex] et [latex]\omega[/latex].
   • Comment la puissance moyenne reçue par [latex]r[/latex] et [latex]L[/latex] s’exprime-t-elle en fonction du facteur de puissance ?
5. Montrer que [latex]\tan \phi = \frac{L\omega R}{Rr+r^2+L^2\omega^2}[/latex].
   • Exprimer l’impédance équivalente totale en fonction de [latex]r[/latex], [latex]L[/latex] et [latex]R[/latex].
   • Représenter l’impédance équivalente totale sur un diagramme de Fresnel.
6. Calculer [latex]\phi_F[/latex] puis [latex]\phi_I[/latex].
   • Exprimer [latex]\tan\phi[/latex] dans les modes II et F et utiliser [latex](L\omega)^2+r^2=102r[/latex]

2 – Relèvement du facteur de puissance

1. Calculer le facteur de puissance et la valeur efficace du courant consommé par l’installation complète et commenter le résultat.
   • Déterminer l’admittance de chaque machine et des lampes, puis l’admittance totale.
   • Déterminer la partie réelle de l’admittance grâce à la puissance. Représenter l’admittance sur un diagramme de Fresnel et en déduire une relation entre [latex]\phi[/latex], la partie réelle et la partie imaginaire de m’admittance.
2. Pour réduire les pertes en lignes, on ajoute un condensateur à l’installation. Doit-on l’ajouter en parallèle ou en série ?
   • Il faut que les machines continuent à fonctionner normalement, donc que la tension à leur bornes ne soit pas modifiée par l’ajout du condensateur.
3. Calculer la valeur du condensateur pour ramener le facteur de puissance à [latex]1[/latex].
   • Que peut-on dire de l’admittance totale si le facteur de puissance est égal à 1 ?

3 – Méthode des trois ampèremètres

1. Exprimer le facteur de puissance [latex]\cos \phi_1[/latex] du dipole [latex]Z[/latex] en fonction de [latex]I_1[/latex], [latex]I_2[/latex] et [latex]I[/latex].
   • Écrire la loi des nœuds et en déduire une relation entre [latex]I[/latex], [latex]I_1[/latex] et [latex]I_2[/latex].
   • Écrire les expressions temporelles de [latex]i_1(t)[/latex] et [latex]i_2(t)[/latex]. Quelle est la définition de la valeur efficace ?
2. Calculer [latex]\cos \phi_1[/latex].

1 – Pince ampère-métrique

1. Déterminer le champ [latex]\vec{H}_I[/latex] créé dans tout l’espace par [latex]I(t)[/latex]. En déduire le flux magnétique [latex]\phi_I[/latex] reçu par le bobinage.
   • Effectuer les 4 étapes : analyse de invariances, des symétries, choix de la courbe d’Ampère et théorème d’Ampère (dans un milieu magnétique).
   • Sur quelle surface doit-on intégrer B ? Cette surface est-elle dans le tore ou en dehors ?
   • Quelle relation existe-t-il entre [latex]B[/latex] et [latex]H[/latex] dans un matériau doux ?
   • La surface d’une spire est orientée selon [latex]\vec{e}_\theta[/latex].
2. Déterminer le flux [latex]\phi_i[/latex] créé par [latex]i(t)[/latex] et reçu par le bobinage.
   • La méthode est très similaire à la question précédente.
3. Établir une équation différentielle liant [latex]u(t)[/latex] et [latex]I(t)[/latex]
   • Représenter le schéma électrique équivalent.
4. Quelle est la fonction de transfert [latex]H(p)=\frac{U(p)}{I(p)}[/latex] ? En déduire comment choisir les paramètres constitutifs de la pince afin que [latex]u[/latex] soit directement proportionnel à [latex]I[/latex].
   • Passer l’équation différentielle en complexes.
   • [latex]u[/latex] est proportionnel à [latex]I[/latex] si la fonction de transfert est indépendante de [latex]p[/latex].

2 – Permanent magnet

1. How does the hysteresis cycle needs to be for a good permanent magnet ? Should a soft or hard material be used ?
   • Le cycle d’hystérésis doit-il être fin ou épais ?
2. Show that the vector [latex]\vec{H}[/latex] is null in the electrical steel.
   • Relier [latex]B[/latex] et [latex]H[/latex] dans le matériau doux. Que vaut la perméabilité magnétique du matériau doux ?
3. Ascertain a relation between [latex]B_a[/latex] and [latex]H_a[/latex] in the magnet. Deduce graphically their value. How many solutions are their ?
   • Appliquer le théorème d’Ampère sur une ligne de champ moyenne.
   • Montrer que le champ magnétique est le même dans l’entrefer, l’aimant permanent et le matériau doux.
4. What are [latex]B_e[/latex] and [latex]H_e[/latex] value in the air gap ?

1 – Inductance d’un câble coaxial

1. Déterminer l’orientation du champ magnétique [latex]\vec{B}(M)[/latex] créé par ce câble ainsi que les variables dont il peut dépendre en un point [latex]M[/latex] quelconque de l’espace.
   • Procéder par analyse des symétries et des invariances.
2. Déterminer [latex]\vec{B}(M)[/latex] pour un point intérieur à l’âme ([latex]r\lt a[/latex]), ou extérieur à la gaine ([latex]b\lt r[/latex]). Justifier.
   • Quel est le courant entouré par la courbe d’Ampère dans les deux cas ?
3. Exprimer le champ magnétostatique [latex]\vec{B}(M)[/latex] créé par ce câble en tout point [latex]M[/latex] situé à la distance [latex]r[/latex] de son axe, [latex]a\lt r\lt b[/latex].
   • Appliquer le théorème d’Ampère.
4. Déterminer le flux de [latex]\vec{B}(M)[/latex] à travers une surface rectangulaire [latex]PQRS[/latex] correspondant à une longueur [latex]l[/latex] du câble, orientée dans le sens de [latex]+\vec{e_\theta}[/latex].
   • Quelle est l’expression du [latex]\vec{dS}[/latex] correspondant en coordonnées cylindriques ?
5. Rappeler l’expression générale qui lie le flux de [latex]\vec{B}(M)[/latex] à l’inductance propre (ou coefficient d’auto-inductance) et en déduire l’inductance [latex]L[/latex] d’une longueur [latex]l[/latex] du câble en fonction de [latex]\mu_0[/latex], [latex]l[/latex], [latex]a[/latex] et [latex]b[/latex].
6. Application numérique pour un câble standard, où [latex]l=\SI{1}{m}[/latex], [latex]a=\SI{1}{mm}[/latex] et [latex]b=\SI{3}{mm}[/latex].

2 – Mutual inductuance between a wire and a frame

1. Ascertain the mutual inductance between the two circuits.
   • Bien que l’inductance mutuelle soit une propriété « géométrique », il peut être utile d’introduire le courant passant dans un des conducteurs.
   • Les deux possibilités sont de déterminer le champ magnétique créé par le cadre puis son flux sur le fil ou de déterminer le champ magnétique créé par le fil puis son flux sur le cadre. Une de ces deux options est plus facile.
   • Déterminer le champ magnétique créé par le fil dans tout l’espace. Quel est son flux sur le cadre ?
   • Quelle relation relie le flux mutuel et l’inductance mutuelle ?

3 – Inductance propre d’un tore

1. Calculer le champ magnétique créé par le courant d’intensité [latex]i(t)[/latex] dans tout l’espace.
   • Effectuer les 4 étapes : analyse des invariances, des symétries, choix de la courbe d’Ampère et théorème d’Ampère.
2. En déduire l’expression de l’inductance propre [latex]\mathcal{L}[/latex]. Calculer numériquement [latex]\mathcal{L}[/latex] pour [latex]N=\SI{100}{}[/latex] et [latex]N=\SI{1000}{}[/latex]. On donne [latex]a=\SI{1e-2}{cm}[/latex] et [latex]R=\SI{5e-2}{cm}[/latex].
   • Quelle relation relie le flux propre et l’inductance propre ?
3. Montrer que lorsque [latex]R\gg a[/latex], on peut considérer que le champ est uniforme sur un section droite et déterminer sa valeur.
   • Pour montrer que B est uniforme, on peut montrer que sa valeur maximale (en [latex]r=R-a/2[/latex]) est environ égale à sa valeur minimale (en [latex]r=R+a/2[/latex])
4. Déterminer la densité d’énergie électromagnétique puis l’énergie totale stockée dans tout l’espace et donner son expression en fonction de [latex]\mathcal{L}[/latex] et [latex]i(t)[/latex]. Commenter le résultat obtenu.

1 – Orage

1. Faire un schéma et expliqué pourquoi les électrons de ce courant sont soumis à une force magnétique de Lorentz. Quel est son sens ?
   • Quelle est la direction de la vitesse des électrons ? Quelle est la direction du champ magnétique créé par le courant ?
2. Exprimer le vecteur densité volumique de courant [latex]\vec{j}[/latex].
   • Relier le courant à [latex]\vec{j}[/latex]. Utiliser le fait que [latex]\vec{j}[/latex] est uniforme dans le cylindre.
3. Déterminer [latex]\vec{B}[/latex] au niveau du bord du conduit et exprimer la norme de cette force magnétique par unité de volume en fonction de [latex]I[/latex] et [latex]a[/latex].
   • Effectuer les 4 étapes : analyse des invariances, analyse des symétries, choix de la courbe d’Ampère, théorème d’Ampère.
   • On demande [latex]\vec{B}[/latex] seulement au bord du cylindre (en [latex]r=a[/latex]).
4. Le sens de la force change-t-il si le courant est descendant ?
   • Quel serait alors le sens de la vitesse des électrons ? Quel serait alors le sens du champ magnétique ?
5. Faire l’application numérique de cette force et la comparer au poids volumique de l’air. Pourquoi les éclairs causent-ils le tonnerre\footnote{L’éclair est le résulultat visible du passage du courant tandisque le tonnerre est le son produit} ?
   • Relier le poids volumique de l’air à la masse volumique de l’air.
   • La masse volumique de l’air est [latex]\rho_\text{air}=1kg.m^{-3}[/latex].
   • Que peut-il se produire si l’air est subitement soumis à une force très intense ?

2 – Bobine torique

1. Faire un schéma du système.
2. Montrer que le champ magnétique qui règne en un point [latex]M(x,y)[/latex] quelconque du plan [latex]xOy[/latex] à l’intérieur du tore peut s’exprimer sous la forme [latex]B=\frac{\mu_0nI}{2\pi r}[/latex].
   • Effectuer les 4 étapes : analyse des invariances, analyse des symétries, choix de la courbe d’Ampère, théorème d’Ampère.
3. Déterminer le flux [latex]\Phi[/latex] du champ magnétique à travers la surface d’\textbf{une} spire dont la normale est orientée dans le sens du champ.
   • Représenter la surface sur le schéma.
   • Selon quelles variables faut-il intégrer ? Entre quelles bornes ?
   • Quelle est l’expression d’un élément de surfaces orienté selon [latex]\vec{e_\theta}[/latex]

3 – Câble coaxial

1. Montrer que le champ magnétique [latex]\vec{B}[/latex] créé au point [latex]M[/latex] est orienté selon [latex]\vec{e_\theta}[/latex].
2. Montrer qu’il peut se mettre sous la forme [latex]\vec{B}=B(r)\vec{u_\theta}[/latex].
3. Préciser alors la forme des lignes de champ.
   • Les lignes de champ sont en tout point colinéaires à [latex]\vec{B}[/latex].
4. Montrer que le champ magnétique créé au point [latex]M[/latex] est nul si [latex]r>R_3[/latex].
   • Quel est le courant enlacé dans ce cas ?
5. Calculer les densités de courant [latex]\vec{j_1}[/latex] et [latex]\vec{j_2}[/latex], respectivement dans le conducteur central et du conducteur périphérique en fonction des courants [latex]I[/latex] et [latex]-I[/latex] et des rayons [latex]R_1[/latex], [latex]R_2[/latex] et [latex]R_3[/latex].
   • Quelle est l’aire du disque de rayon [latex]R_1[/latex] ? Quelle est l’aire du disque percé situé entre [latex]R_2[/latex] et [latex]R_3[/latex] ?
   • Relier le courant électrique et la densité volumique de courant [latex]j[/latex].
6. En appliquant le théorème d’Ampère à un contour [latex]\mathcal{C}[/latex] que l’on précisera, donner l’expression de la composante [latex]B(r)[/latex] du champ magnétique créé au point [latex]M[/latex] en fonction de [latex]\mu_0[/latex], [latex]I[/latex], [latex]r[/latex], [latex]R_1[/latex], [latex]R_2[/latex], et [latex]R_3[/latex] dans chacun des cas suivants : [latex]r
7. La courbe d’Ampère doit être choisie de sorte que [latex]\vec{dl}[/latex] soit colinéaire à [latex]\vec{B}[/latex] afin de simplifier les calculs.
8. Tracer l’allure du graphe de [latex]B(r)[/latex].