Catégorie : Physique-Chimie PSI 2024-2025

1 – Étamage

1. Le potentiel standard du couple [latex]\ce{H+/H2(g)}[/latex] n’est pas donné, pourquoi ?
   • Quelle origine a été choisie pour les potentiels électriques en électrochimie ?
2. Compléter le schéma de la figure, en précisant la polarité du générateur ainsi que le sens de passage du courant. Qualifier chaque électrode du terme << anode >> ou << cathode >>.
   • Dans quel sens se déplacent les électrons ? Quelle réaction se produit à l’électrode où arrivent les électrons ? A celle d’où ils partent ?
   • L’idée de l’étamage est de déposer de l’étain sur du fer. En déduire quelle électrode a quelle nature.
3. Un petit dégagement gazeux est observé au niveau de l’électrode en fer. Quel est-il ?
   • Quelle espèce présente dans la solution peut produire un gaz par oxydation et réduction ?
   • La réaction a-t-elle lieu à l’anode ou à la cathode ? Est-ce une oxydation ou une réduction ? S’agit-il donc de la formation de [latex]\ce{O2}[/latex] ou [latex]\ce{H2}[/latex] ?
4. Écrire les échanges électroniques au niveau de chaque électrode et représenter les courbes intensité-potentiel correspondant à ces échanges.
   • Le fer réagit-il ?
   • Représenter la courbe i-E de l’étain. Possède-t-elle des surpotentiels ? Un ou des paliers de saturation ?
   • Tracer le mur du solvant en prenant en compte le surpotentiel indiqué.
5. Exprimer puis calculer la masse [latex]m[/latex] d’étain maximale déposée sur le fer, sachant que l’intensité totale du courant est [latex]i = \SI{1,0}{A}[/latex] et que l’électrolyse est arrêtée au bout de [latex]\SI{4}{min}[/latex].
   • Intégrer la relation entre courant électrique et vitesse de réaction.
6. En réalité, la masse mesurée est [latex]\SI{0.12}{g}[/latex]. Calculer le rendement Faradique.

2 – Étude du zinc

1. À l’aide de la figure, justifier le procédé de purification en écrivant les équations bilans des différentes réactions qui ont lieu. Sous quelles formes sont alors les impuretés ? Comment peut-on les éliminer ?
   • Quelle réaction se produira si on met en contact du zinc solide et une solution contenant des ions [latex]\ce{Cd2+}[/latex] ? Raisonner de même pour [latex]\ce{Ni2+}[/latex] et [latex]\ce{Cu2+}[/latex]
2. Nous considérerons dans la suite que les ions sulfate ne participent à aucune réaction. D’un point de vue thermodynamique, quelles sont les réactions qui peuvent avoir lieu à la cathode ? À l’anode ? En déduire la réaction d’électrolyse attendue. Quelle différence de potentiel devrait-on appliquer ?
   • Lister tous les réducteurs présents et les couples associés. Quelle(s) réaction(s) peuvent se produire à l’anode ? Même question pour la cathode.
   • En comparant les potentiels de Nernst des différents couples, quelle réaction est la plus thermodynamiquement favorable (ou plutôt la moins défavorable puisqu’il s’agit d’une réaction forcée) ?
3. À l’aide de la figure suivante, donner l’équation d’électrolyse qui a réellement lieu. À quoi sont dus ces changements ? Si on impose une densité de courant de \SI{500}{A.m^{-2}}, quelle devrait être la différence de potentiel appliquée aux bornes des électrodes ? Estimer approximativement le rendement faradique associé au dépôt de zinc à la cathode.
   • Quelle réaction devient la plus facile à forcer ?
   • Pourquoi la réaction [latex]\ce{H+ -> H2}[/latex] de démarre pas à [latex]\SI{0}{V}[/latex] ?
   • Quel potentiel faut-il imposer à l’électrode d’aluminium pour que son courant TOTAL soit de [latex]\SI{-500}{A}[/latex] ?
   • Quelle proportion du courant sert alors à la réaction voulue ?

3 – Raffinage électrolytique du cuivre

1. Écrire l’équation-bilan de la réaction qui a lieu. Déterminer sa constante d’équilibre à [latex]\SI{298}{K}[/latex]. Commenter la valeur obtenue.
   • Faire une échelle de potentiel et mettre en évidence les espèces présentes. Quelle est la réaction la plus thermodynamiquement favorable ?
   • Comment l’enthalpie libre standard de réaction est-elle reliée à la différence de potentiels standards ? À la constante de réaction ?
   • Que peut-on dire quand [latex]K^\circ\gg 1[/latex] ?
2. À l’aide des courbes intensité-potentiel, prévoir si cette réaction est rapide ou lente (un schéma est souhaité).
   • Quel unique potentiel permet l’égalité de la somme des courants anodiques et la somme des courants cathodiques ? Ce potentiel permet-il un courant significatif ?
3. Écrire la(les) réaction(s) observée(s) à l’anode. Même question à la cathode.
   • Le potentiel [latex]E_A[/latex] permet-il l’oxydation de [latex]\ce{Pb}[/latex] ? de [latex]\ce{Cu}[/latex] ? de [latex]\ce{Ag}[/latex] ?
   • Parmi les solutés produits, lesquels peuvent être réduits au potentiel [latex]E_C[/latex] ?
4. Expliquer l’intérêt de cette méthode quant à la purification du cuivre.
   • Les impuretés présentes à l’anodes sont-elles reformées à la cathode ?

4 – Corrosion du zinc

1. Quelles sont, à [latex]pH = \SI{6,0}{}[/latex], les valeurs des potentiels d’équilibre des couples [latex]\ce{H+(aq)/H2(g)}[/latex], [latex]\ce{O2(g)/H2O(l)}[/latex] et [latex]\ce{Zn^2+/Zn(s)}[/latex] ?
   • Écrire la relation de Nernst pour chacun des couples ?
2. Écrire la réaction qui peut \textit{a priori} être observée en considérant les valeurs des potentiels d’équilibre.
   • Faire une échelle de potentiels.
3. En fait, aucun dégagement gazeux n’est observé. Expliquer ce constat en calculant le potentiel de début de dégagement gazeux (le potentiel à laquelle la réaction démarre significativement). Tracer l’allure de la courbe [latex]i, E[/latex]. Dans quel domaine de potentiel se situe le potentiel de la tôle ?
   • Pour calculer le potentiel de début de réaction, il faut combiner le potentiel d’équilibre avec le surpotentiel.
   • Existe-t-il des paliers de diffusion ?
   • Dans quel domaine y a-t-il égalité des courants anodique et cathodique ?
4. La tôle est accidentellement rayée, l’acier est mis à nu au fond d’une rayure. La tôle est plongée dans la solution aqueuse désaérée à pH = 6, 0. Déterminer le potentiel d’oxydoréduction du couple [latex]\ce{Fe^2+ /Fe(s)}[/latex] (on prendra les concentrations des espèces solubles contenant du fer égales à [latex]\SI{1e-6}{mol.L^{-1}}[/latex]).
   • Utiliser la relation de Nernst.
5. Représenter l’allure des courbes [latex]i, E[/latex] correspondant aux couples [latex]\ce{Fe^2+/Fe(s)}[/latex] et [latex]\ce{Zn^2+/Zn(s)}[/latex], ainsi que [latex]\ce{H+ -> H2(g)}[/latex] sur [latex]\ce{Fe}[/latex] et sur [latex]\ce{Zn}[/latex]. Écrire les réactions ayant lieu au voisinage de la rayure en identifiant anode et cathode. Expliquer pourquoi la présence de zinc évite l’oxydation du fer.
   • Tracer la courbe [latex]i-E[/latex] sur l’électrode de [latex]\ce{Fe}[/latex] et la superposer à celle sur l’électrode de [latex]\ce{Zn}[/latex].
   • Quel est l’unique potentiel vérifiant l’égalités des courants anodique et cathodique ? Quelles réactions se produisent alors ?

5 – Passivation du métal aluminium

1. Quelle est la formule chimique de l’oxyde d’aluminium (III) ? En déduire l’équation de la réaction électrochimique d’obtention de l’oxyde.
   • Il faut former une molécule neutre contenant des atomes [latex]\ce{Al}[/latex] de nombre d’oxydation III et des atomes [latex]\ce{O}[/latex]. Dans quelles proportions sont [latex]\ce{Al}[/latex] et [latex]\ce{O}[/latex] ?
   • Écrire la demi-équation entre l’oxyde d’aluminium III et l’aluminium solide. L’aluminium est-il oxydé ou réduit ? Quel couple de l’eau faut-il faire intervenir pour avoir une autre demi-équation ?
2. Pour réaliser l’opération, on immerge, dans une solution concentrée d’acide sulfurique, la plaque d’aluminium et une électrode inattaquable, puis on applique une différence de potentielle suffisante pour maintenir une densité de courant de [latex]\SI{1}{A.dm^{-2}}[/latex]. Quelle est l’épaisseur de la couche d’alumine obtenue après [latex]\SI{10}{min}[/latex] d’électrolyse ?
   • Intégrer la relation entre courant et vitesse de réaction pour connaitre l’avancement de la réaction.
   • Relier l’avancement à la masse puis au volume et enfin à l’épaisseur.
3. On lit dans un manuel << Avec une densité de courant de [latex]\SI{150}{A.m^{-2}}[/latex], la couche d'oxyde atteint [latex]\SI{10}{\mu m}[/latex] en [latex]\SI{30}{min}[/latex]. >> Ce résultat est-il en accord avec l’étude théorique précédente ? Sinon quelle explication peut-on proposer ?
   • Reprendre la formule littérale de la question précédente et calculer l’épaisseur de la couche d’alumine.
   • Qu’est-ce qui peut faire que tout le courant ne participe pas à la réaction de passivation de l’aluminium ?

6 – Principe d’une pile à combustible

1. Expliquer le principe de fonctionnement de la pile à combustible décrite ci-dessus en indiquant le nom de chaque électrode ainsi que la réaction dont elle est le siège, la polarité de la pile, le sens conventionnel du courant et le sens de circulation des électrons.
   • Écrire les demi-équations des couples proposés dans les données. En déduire le sens des électrons.
   • L’anode est-elle le siège d’une oxydation ou d’une réduction ?
   • Les électrons sont-ils attirés par la borne positive ou négative ?
2. Quel est le rôle de l’électrolyte ? Écrire la réaction globale de fonctionnement de la pile avec un coefficient stœchiométrique relatif à l’eau égal à 2.
   • L’électrolyte joue le même rôle que le pont salin.
3. En se plaçant dans l’approximation d’Ellingham, montrer que [latex]\Delta_rG^\circ=-570.2 + 0.326 T\unit{kJ.mol^{-1}}[/latex].
   • Calculer l’enthalpie et l’entropie standards de formation à l’aide de la loi de Hess.
4. Exprimer la force électromotrice de la pile (tension à vide) en fonction des potentiels standard des couples redox mis en jeu, de la température [latex]T[/latex] et des pressions partielles [latex]p(\ce{O2})[/latex] et [latex]p(\ce{H2})[/latex] d’alimentation en gaz des électrodes.
   • Exprimer le quotient de réaction en fonction de pressions partielles de [latex]\ce{O2}[/latex] et [latex]\ce{H2}[/latex].
   • Relier l’enthalpie libre de réaction à l’enthalpie libre standard de réaction et au quotient réactionnel.
   • Relier la f.é.m. à l’enthalpie libre de réaction.
5. On se place dans le cas où [latex]p(\ce{O2}) = p(\ce{H2}) = \SI{1}{bar}[/latex]. Calculer la force électromotrice de la pile à [latex]T = \SI{350}{K}[/latex].

7 – Pile au lithium

1. Écrire les réactions intervenant à chaque électrode, en précisant leur nature. En déduire la réaction globale de la pile. Exprimer la force électromotrice théorique initiale (tension à vide) en faisant intervenir les données et les activités des ions [latex]\ce{H+}[/latex] et [latex]\ce{Li+}[/latex]. Pourquoi l’électrolyte n’est-il pas une solution aqueuse ?
   • En utilisant les potentiels standards, l’électrode de lithium est-elle la borne positive ou négative ? Pour une pile, cette borne est-elle une anode ou une cathode ?
   • Écrire les deux demi-équations des couples [latex]\ce{Li+ / Li}[/latex] et [latex]\ce{MnO2 / MnO(OH)}[/latex] puis les combiner pour faire une équation globale.
   • Écrire la relation de Nernst.
   • Faire une échelle de potentiel avec les couples de l’eau et [latex]\ce{Li+ / Li}[/latex]. Quelle réaction se produit spontanément si on place le lithium solide en présence d’eau ?
2. Déterminer la quantité de matière de [latex]\ce{Li}[/latex] disponible, ainsi que la quantité de matière [latex]\ce{n_e}[/latex] d’électrons que peut transférer la pile (on supposera que le réactif limitant est ici le lithium). En déduire la quantité d’électricité [latex]Q[/latex] (exprimée en C puis en [latex]\SI{}{A.h}[/latex]) qu’elle peut fournir. On indique [latex]\SI{1}{A.h}[/latex] = [latex]\SI{3600}{C}[/latex].
   • Relier masse, masse molaire et quantité de matière.
   • Combien d’électron l’oxydation d’un atome de lithium permet-elle de faire transiter ?
3. Exprimer la capacité massique [latex]C_m[/latex], c’est-à-dire la quantité maximale d’électricité que peut débiter la pile par kilogramme de lithium. Positionner la capacité massique d’une pile au lithium par rapport à des piles pour lesquelles les capacités massiques (en [latex]\SI{}{A.h.kg^{-1}}[/latex]) s’élèvent respectivement à [latex]480[/latex] ([latex]\ce{Cd}[/latex]), [latex]500[/latex] ([latex]\ce{Zn}[/latex]) ou [latex]820[/latex] ([latex]\ce{Ag}[/latex]).
4. Calculer l’autonomie (en années) de la pile.

8 – Accumulateur au plomb

1. On suppose que l’électrolyte d’un accumulateur au plomb est obtenu en introduisant de l’acide sulfurique [latex]\ce{H2SO4}[/latex] en concentration [latex]c_0=\SI{1}{mol.L^{-1}}[/latex] Placer les domaines de prédominance de [latex]\ce{H2SO4}[/latex], [latex]\ce{HSO4-}[/latex], [latex]\ce{SO4^2-}[/latex] sur un axe de pH. Conclure quant aux concentrations en ion [latex]\ce{H+}[/latex] et [latex]\ce{HSO4-}[/latex] à l’équilibre. En déduire la tension à vide d’un accumulateur.
   • [latex]\ce{H2SO4}[/latex] peut-il exister dans l’eau ? En déduire la concentration minimale de [latex]\ce{H+}[/latex] puis la zone du diagramme de prédominance où on se situe.
   • Écrire l’équation de dissociation de [latex]\ce{H2SO4}[/latex]
2. Écrire la réaction de fonctionnement de la pile lors de la décharge.
   • Combiner les deux demi-équations fournies.
3. De combien de cellules en série la batterie dont les caractéristiques sont de le tableau est constituée ? Quelle est la capacité de chacune d’entre elles ?
   • Quelle est la tension à vide d’une cellule ?
   • Utiliser la relation de Nernst pour chacun des électrodes.
   • Si un courant [latex]i[/latex] traverse une cellule, quel courant total délivre la pile (sachant qu’elles sont en série) ?
4. Calculer, lors d’une décharge complète, la masse de [latex]\ce{HSO4-}[/latex] consommée et celle d’eau formée.
   • Intégrer la relation entre vitesse de réaction et courant électrique.

1 – Réflexion et transmission sur un plasma

1. Déterminer la conductivité complexe du plasma [latex]\underline{\gamma}[/latex] à la pulsation [latex]\omega[/latex].
2. Montrer que la densité volumique de charges est nulle dans le plasma.
3. Établir l’équation de dispersion [latex]k_p(\omega)[/latex] dans le plasma en posant [latex]\omega_p=\sqrt{\frac{Ne^2}{m\epsilon_0}}[/latex].
4. En déduire l’indice optique [latex]n[/latex] du plasma défini par [latex]n=\frac{c}{v_\phi}[/latex] où [latex]v_\phi[/latex] est la vitesse de phase.
5. Exprimer [latex]\underline{E_r}[/latex] et [latex]\underline{E_t}[/latex] en fonction de [latex]E_0[/latex] et de [latex]n[/latex].
   • Quelle condition aux limites a-t-on à l’interface vide-plasma ?
6. Établir les expressions réelles des trois champs électriques et magnétiques dans le cas [latex]\omega > \omega_p[/latex]. Les amplitudes seront exprimées en fonction de [latex]E_0[/latex] et [latex]n[/latex].
   • Quelle relation relie le champ magnétique et le champ électrique pour une OPPH ?
7. Définir et déterminer les coefficients de réflexion et de transmission en puissance [latex]R[/latex] et [latex]T[/latex], dans le cas [latex]\omega>\omega_p[/latex]. Que vaut leur somme ?
   • Commencer par exprimer les trois vecteurs de Poynting.
8. Dans le cas [latex]\omega<\omega_p[/latex], que vaut le module de [latex]\frac{1-\underline{n}}{1+\underline{n}}[/latex] ? On notera [latex]\phi[/latex] l'argument de ce dernier.
9. Dans le cas [latex]\omega<\omega_p[/latex], établir les expressions réelles des champs électriques et magnétiques incidents et réfléchis.
10. Calculer [latex]R[/latex] dans le cas [latex]\omega<\omega_p[/latex]. En déduire [latex]T[/latex].
    • Quelle relation sur [latex]R[/latex] et [latex]T[/latex] traduit la conservation de l’énergie ?

2 – Réflexion et transmission entre deux cordes

1. Commenter les expression des trois ondes.
   • Ces ondes sont-elles progressives ? stationnaires ? harmoniques ?
2. En analysant la position de la jonction entre les deux cordes, montrer que les trois pulsations temporelles sont identiques.
   • Comment s’écrit l’onde dans la corde de gauches ? Dans la corde de droite ?
   • L’onde totale est continue en [latex]x=0[/latex].
3. En appliquant le principe fondamental de la dynamique sur une portion de corde de longueur [latex]2\epsilon[/latex] à la jonction, établir les coefficients de réflexion et de transmission en amplitude [latex]r=\frac{y_{0r}}{y_{0i}}[/latex] et [latex]t=\frac{y_{0t}}{y_{0i}}[/latex], en fonction des célérités [latex]c_1[/latex] et [latex]c_2[/latex] dans les cordes.
   • Faire tendre [latex]\epsilon[/latex] vers [latex]0[/latex] pour montrer la continuité de [latex]\vec{T}[/latex] en [latex]0[/latex].
   • Quelle relation relie [latex]\vec{T}[/latex] et [latex]\alpha[/latex] ? [latex]\alpha[/latex] et [latex]y[/latex] ?

3 – Réflexion et transmission entre deux câbles

1. Proposer une modélisation mathématique pour les ondes incidentes, réfléchies et transmises.
   • Comment s’écrit une OPH ?
2. Quelles sont les conditions aux limites en [latex]x=0[/latex] ?
   • La tension et le courant sont continus en [latex]x=0[/latex]. Écrire ce que cela implique sur les ondes ?
3. Définir et établir les coefficients de réflexion et de transmission en amplitude pour la tension, à la jonction entre les deux câbles. Conclure quant à la nécessité d’assurer une adaptation d’impédance lors de la mise en série de deux câbles coaxiaux.
4. On définit les coefficients de réflexion (resp. transmission) en puissance, par la valeur absolue du rapport entre la valeur moyenne de la puissance réfléchie (resp. transmise) sur la valeur moyenne de la puissance incidente. Calculer ces deux coefficients. Quelle relation simple les lie ?

1 – Ondes sonores dans un fluide visqueux

1. Montrer que le PFD appliqué à une particule de fluide, dans l’approximation acoustique, en projection sur l’axe [latex](Ox)[/latex] donne [latex display= »true »]\rho_0\frac{\partial v_1}{\partial t} = -\frac{\partial P_1}{\partial x} + \frac{4}{3}\eta\frac{\partial^2v_1}{\partial x^2}[/latex]
   • Reprendre le PDF sur une particule de fluide du cours, en ajoutant cette fois ci la force de viscosité.
   • L’énoncé précise que l’onde se propage selon [latex]x[/latex]. Simplifier les opérateurs vectoriels dans ce cas.
2. Établir l’équation de propagation de l’onde sonore pour la surpression (on n’utilisera que les équations projetées sur [latex]\vec{u_x}[/latex]). On utilisera la célérité, telle que [latex]c^2=\frac{1}{\chi_0\rho_0}[/latex], afin de ne pas employer le coefficient de compressibilité isentropique.
   • L’équation thermodynamique et l’équation locale de conservation de la masse restent inchangées.
   • Dériver l’équation locale de conservation de la masse d’une part par rapport à [latex]x[/latex] et d’autre part par rapport à [latex]t[/latex] afin d’éliminer les [latex]v_1[/latex] de l’équation de la question 1.
3. L’onde est harmonique de fréquence [latex]f=\SI{1.0e3}{Hz}[/latex]. Pour l’air à \SI{20}{\celsius}, on donne [latex]\eta/\rho_0=\SI{2.0e-5}{m^2s^{-1}}[/latex]. Établir l’équation de dispersion et la distance caractéristique d’atténuation de l’onde, en tenant compte des approximations numériques.
   • Passer en complexes l’équation d’onde.
   • La distance caractéristique d’atténuation de l’onde est la profondeur de peau.
4. Est-ce la raison pour laquelle on entend moins bien un son quand on s’éloigne de sa source ?
   • À part l’absorption, quel autre phénomène peut être responsable de l’atténuation de l’amplitude d’une onde ?

2 – Corde vibrante soumise à des frottements visqueux

1. Mettre en équation la corde. On introduira les coefficients [latex]c=\sqrt{\frac{T}{\mu}}[/latex] et [latex]a=\frac{\alpha}{T}[/latex].
   • Reprendre la démonstration de l’équation de d’Alembert du cours en rajoutant la force de frottement fluides.
2. On cherche une solution à variables séparées en [latex]y(x,t)=f(x)g(t)[/latex]. À quelles équations différentielles les deux fonctions [latex]f[/latex] et [latex]g[/latex] obéissent-elles ?
   • Introduire la forme proposée dans l’équation d’onde et séparer les variables.
3. Résoudre l’équation sur [latex]f[/latex] puis celle sur [latex]g[/latex]. On se placera dans le cas de frottements faibles, et on précisera explicitement l’inégalité qu’implique cette hypothèse. On ne cherchera pas à expliciter les constantes.
   • L’équation différentielle sur [latex]f[/latex] possède trois familles de solution. Parmi ces familles, quelle est la seule qui admet des solutions non nulles compatibles avec les conditions aux limites ?
   • Compte tenu de l’hypothèse de frottements faibles, quel est le signe du discriminent de l’équation différentielle sur [latex]g[/latex] ?
4. En déduire la durée caractéristique d’amortissement des oscillations. Que devient l’énergie initialement contenue dans la vibration de la corde ?
   • La durée caractéristique d’amortissement apparait dans l’exponentielle.

3 – Câble coaxial et pertes résistives

1. Établir une relation entre [latex]\Gamma[/latex], [latex]g[/latex], [latex]u(x,t)[/latex], [latex]i(x,t)[/latex] et/ou de leurs dérivées premières.
   • Réaliser un schéma électrique d’une portion infinitésimale de cable.
   • Appliquer la loi des nœuds.
2. Établir une relation entre [latex]\Lambda[/latex], [latex]r[/latex], [latex]u(x,t)[/latex], [latex]i(x,t)[/latex] et/ou de leurs dérivées premières.
   • Appliquer la loi des mailles.
3. En déduire que [latex]u(x,t)[/latex] satisfait à l’équation dite des télégraphistes [latex]\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}-\alpha\frac{\partial^2u}{\partial t^2}-\beta\frac{\partial y}{\partial t}-\mu u(x,t)=0[/latex]. Préciser l’expression de [latex]\alpha[/latex], [latex]\beta[/latex], et [latex]\mu[/latex] en fonction des paramètres de l’énoncé. On admet que [latex]i[/latex] obéit à la même équation.
   • Il faut combiner les équations des question précédentes.
   • Dériver l’équation de la question 1 par rapport à [latex]t[/latex] et celle de la question 2 par rapport à [latex]x[/latex]. Appliquer le théorème de Schwarz.
4. On considère une onde qui se déplace dans le sens de [latex]x[/latex] croissants : [latex]\underline{u}^+(x,t)=\underline{u}_0^+e^{j(\omega t-kx)}[/latex]. Établir l’équation de dispersion.
   • Passer en complexe l’équation d’onde de la question précédente.
5. On pose [latex]\underline{k}=k’+jk »[/latex]. Qu’implique le fait que [latex]\underline{k}[/latex] soit complexe ?
6. Déterminer la vitesse de phase [latex]v_\phi[/latex] et une longueur [latex]\delta[/latex] caractéristique en fonction de [latex]k'[/latex] et [latex]k »[/latex]. Quels doivent être les signes de [latex]k'[/latex] et [latex]k »[/latex] ?

4 – Spread of an electromagnetic wave in a plasma

1. Ascertain the magnetic field of this wave.
   • L’onde est une OPPH. Quelle relation lie [latex]\vec{E}[/latex] et [latex]\vec{B}[/latex] dans ce cas ?
2. Determine 2 equations on the current density vector [latex]\vec{\underline{j}}[/latex]. Deduce the dispersion equation and comment the result.
   • Les deux équations sont la loi d’Ohm locale et l’équation de Maxwell-Ampère.
3. Ascertain the Poynting vector. Comment.
   • Attention, il faut repasser en réel pour calculer le vecteur de Poynting.

5 – Simulation de la propagation d’un paquet d’onde dans un plasma

1 – Corde vibrante conductrice

1. Établir l’équation du mouvement de la corde sous la forme
   [latex]\frac{\partial^2 z}{\partial t^2}-c^2\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}=\frac{i_0 B_0}{\mu}\cos(\omega t)\sin(\frac{\pi x}{L})[/latex]
   où [latex]c[/latex] est une constante à exprimer en fonction des données de l’énoncé.
   • Reprendre la démonstration de l’équation de d’Alembert avec cette fois-ci la force de Laplace en plus.
2. On cherche une solution en [latex]z(x,t)=z_0\sin(\frac{\pi x}{L})\cos(\omega t)[/latex] en régime sinusoïdal forcé. Commenter le choix de cette expression.
   • Cette onde est-elle une onde stationnaire ou progressive ?
   • Le milieu est-il fini, semi-infini ou infini ?
3. Déterminer l’expression de [latex]z_0[/latex]. Que se passe-t-il quand [latex]\omega[/latex] tend vers [latex]\frac{\pi c}{L}[/latex] ? La modélisation du phénomène est-elle toujours valable ? Expliquer.
   • Introduire l’expression de [latex]z[/latex] dans l’équation d’onde.
   • Les hypothèses faire pour établir l’équation d’onde sont-elles compatibles avec une amplitude qui diverge ?

2 – Câble coaxial alimenté par un générateur

1. Ascertain the voltage wave [latex]u(x,t)[/latex] and the current wave [latex]i(x,t)[/latex].
   • Deux possibilités : soit chercher les solutions sous la forme [latex]f(x)g(t)[/latex] (milieu fini), soit sous la forme d’une onde incidente plus une onde réfléchie.
   • Quelles sont les conditions aux limites en [latex]x=0[/latex] ? en [latex]x=L[/latex] ?
2. For some values of [latex]\omega[/latex], the amplitude of [latex]u[/latex] and [latex]i[/latex] are very important. Explain why and for determine the values of [latex]\omega[/latex] for which this happens.

3 – Modèle d’une clarinette

1. Pourquoi modéliser l’onde sonore par une onde stationnaire ?
   • Le milieu est-il fini, semi-infini ou infini ? Dans un tel milieu, sous quelle forme cherche-t-on des solutions de manière privilégiée ?
2. Établir l’expression du champ de vitesse dans la clarinette. A-t-on [latex]P(x,t)=Zv(x,t)[/latex], où [latex]Z=\rho_0c[/latex] ?
   • Écrire l’équation mécanique liant la surpression à la vitesse.
3. Quelles sont les deux conditions aux limites imposées par l’atmosphère ?
   • Attention, dans cet exercice, [latex]P[/latex] désigne la surpression et pas la pression comme dans le cours.
   • Écrire la condition d’adhérence en [latex]x=0[/latex] et la continuité de la pression en [latex]x=l[/latex].
4. Établir quelles pulsations peuvent être jouées avec cet instrument.
   • Quelles valeurs de [latex]k[/latex] sont possible avec la condition aux limites sur la surpression en [latex]x=l[/latex] ?
   • Relier [latex]k[/latex] à [latex]\omega[/latex] grâce à la relation de dispersion.
5. La note fondamentale d’une flute de longueur [latex]l[/latex] est [latex]\omega_f=\frac{\pi c}{l}[/latex]. Comparer la hauteur de son d’une flute et d’une clarinette de même longueur.
   • La fondamentale est la plus petite fréquence ([latex]n=1[/latex]).

4 – Modes propres dans une cavité sphérique

1. Que représente chacun des termes de [latex]P(r,t)[/latex] ?
   • Pour chaque terme, est-ce une onde stationnaire ou progressive . harmonique ou non ? sphérique, cylindrique ou plane ?
2. Déterminer le champ des vitesses [latex]\underline{v}[/latex] associé à l’onde ?
   • Attention, les ondes ne sont pas des OPPH, on ne peut pas utiliser l’impédance acoustique.
   • Utiliser la relation mécanique liant la surpression et la vitesse.
3. Établir le lien entre [latex]\omega_1[/latex] et [latex]\omega_2[/latex] puis [latex]A[/latex] et [latex]B[/latex]. En déduire [latex]\underline{v}[/latex].
   • Écrire la condition d’adhérence en [latex]r=R[/latex].
   • Isoler les fonctions de [latex]t[/latex] d’un côté du signe égal.
4. En supposant que la surpression ne diverge pas en [latex]0[/latex], montrer que [latex]-2kR=\arctan\frac{2kR}{1-k^2R^2}[/latex]. Comment déterminer graphiquement les valeurs de [latex]k[/latex] possibles ?

5 – Cavité électromagnétique à une dimension

1. Établir l’équation de propagation pour [latex]\vec{E}[/latex] dans le vide.
2. On cherche des solutions à variables séparables : [latex]\vec{E}=f(x)g(t)\vec{u_y}[/latex]. Établir les équations différentielles [latex]f »(x)=\alpha f(x)[/latex] et [latex]g »(t)=\alpha c^2 g(t)[/latex], où [latex]\alpha[/latex] est une constante inconnue à ce stade.
   • Remplacer [latex]\vec{E}[/latex] par [latex]f(x)g(t)\vec{e_y}[/latex] dans l’équation de d’Alembert et séparer les variables.
3. Quelles sont les conditions aux limites.
   • Dans un conducteur parfait, le champ électrique est nul. De plus, la composante tangente à l’interface du champ électrique est continue.
4. Déterminer [latex]f(x)[/latex]. L’exprimer sous la forme d’une fonction de [latex]kx[/latex] où [latex]k[/latex] est une constante qui dépend de [latex]\alpha[/latex] et d’un entier [latex]n[/latex].
   • L’équation différentielle sur [latex]f[/latex] a trois familles de solutions. Parmi elles, quelle est la seule admettant des solutions non nulles compatibles avec les conditions aux limites ?
   • Quelle contrainte sur [latex]k[/latex] imposent les conditions aux limites ?
5. En déduire l’expression de [latex]\vec{E}[/latex] en fonction de [latex]k[/latex] , d’une constante multiplicative près notée [latex]E_0[/latex] et d’une phase [latex]\varphi[/latex].
   • Quelles sont les solutions de l’équation différentielle sur [latex]g[/latex] ?
6. Quelle est l’analogue mécanique de ce problème électromagnétique ?
   • Penser à un système où on a également des modes propres quantifiés à cause de deux conditions aux limites strictes.
7. Établir l’expression du champ magnétique [latex]\vec{B}[/latex]. Que dire des points où [latex]\vec{B}[/latex] est constamment nul, par rapport à ceux où [latex]\vec{E}[/latex] est constamment nul ?
   • La relation de structure, démontrée pour une OPPH, ne peut pas être utilisée ici.
   • Quelle équation de Maxwell permettrait de déterminer [latex]\vec{B}[/latex] ?
   • Utiliser l’équation de Maxwell-Faraday.

1 – Détermination d’une loi de vitesse

1. Quel est le lien entre la vitesse volumique d’apparition de [latex]\ce{NO2}[/latex] ([latex]r_{\ce{NO2}}[/latex]) et la vitesse volumique de réaction [latex]r[/latex] ?
   • Quel lien y a-t-il entre la quantité de matière de [latex]\ce{NO2}[/latex] et l’avancement [latex]\xi[/latex] ? Entre la concentration [latex]\ce{[NO2]}[/latex] et l’avancement volumique [latex]\frac{\xi}{V}[/latex] ?
   • Faire un tableau d’avancement pour répondre au coup de pouce précédent.
2. Montrer que pour une réaction d’ordre 2, on a [latex]\ln\left(\frac{\ce{[NO2]}_e-\ce[NO2]_s}{\tau}\right)=\alpha\ln\ce{[NO2]}_s+B[/latex]. Que vaut [latex]\alpha[/latex] pour une réaction d’ordre 2 ?
   • Faire un bilan de matière sur un système fermé constitué à partir du système ouvert [latex]{\text{réacteur}}[/latex].
   • Que signifie que la réaction est d’ordre 2 ?
   • Comme la réaction a un unique réactif, son ordre partiel en [latex]\ce{NO2}[/latex] est l’ordre global.
3. Les résultats expérimentaux sont-ils compatibles avec une cinétique d’ordre 2 ? Calculer la constante de vitesse [latex]k[/latex] à la température de l’expérience.
   • Tracer [latex]\ln\left(\frac{\ce{[NO2]}_e-\ce[NO2]_s}{\tau}\right)[/latex] en fonction de [latex]\ln \ce{[NO2]}[/latex]. Faire une régression linéaire.
   • Si le modèle d’une réaction d’ordre 2 est bien vérifié, que doit valoir [latex]r^2[/latex] ? Que doit valoir la pente ?

2 – Comparaison d’installation

1. Dans un premier temps, on emploi un \textbf{réacteur fermé} contenant [latex]\SI{40}{L}[/latex] de mélange homogène. Quelle doit être la durée de l’opération pour obtenir un taux de conversion égal à [latex]\SI{98}{\%}[/latex] ?
   • Relier la vitesse volumique de réaction à la concentration d’ester de deux façons : grâce en faisant intervenir le coefficient stœchiométrique et en utilisant le fait que la réaction est d’ordre 1.
   • Résoudre l’équation différentielle pour exprimer la concentration d’ester en fonction du temps.
2. On désire cette fois traiter [latex]\SI{40}{L.h^{-1}}[/latex] de solution dans un \textbf{réacteur ouvert} parfaitement agité continu pour obtenir un taux de conversion de [latex]\SI{98}{\%}[/latex]. Quels doivent être le temps de passage et le volume du réacteur ?
   • Faire un bilan de matière en ester sur un système fermé constitué à partir du système ouvert [latex]{\text{réacteur}}[/latex].
   • Relier la concentration en entrée, la concentration en sortie, le temps de passage et la constante [latex]k_\text{app}[/latex].
3. On désire, enfin, traiter [latex]\SI{40}{L.h^{-1}}[/latex] de solution dans une cascade de [latex]n=10[/latex] réacteur parfaitement agités continus de mêmes dimensions, associés en série. On suppose que le temps de passage est le même dans chaque réacteur. Quels doivent être le temps de passage et le volume total des réacteurs pour obtenir un taux de conversion de [latex]\SI{98}{\%}[/latex] ?
   • Reprendre le résultat précédent et l’appliquer entre un réacteur [latex]i[/latex] et un réacteur [latex]i+1[/latex].
   • Quelle est la nature de la suite [latex](\ce{[E]}_i)_{i\in \mathbb{N}^*}[/latex] ?
   • Exprimer [latex]\ce{[E]}_{10}[/latex] en fonction de [latex]\ce{[E]}_0[/latex], [latex]k_{\text{app}}[/latex] et [latex]\tau[/latex].

1 – Échangeur thermique à contre-courant

1. À l’aide du premier principe de la thermodynamique, établir un lien entre ces deux puissances, [latex]D[/latex] et les enthalpies massiques du fluide en entrée et en sortie.
   • Il s’agit de la démonstration du PPI du cours, avec quelques hypothèses qui simplifient un peu les calculs.
   • Le PPI ainsi obtenu doit être multiplié par le débit massique pour faire apparaitre les puissance demandées.
2. En raisonnant de même, calculer [latex]\theta_2[/latex].
   • Donner un nom à la puissance allant du gaz vers le fluide.
   • Appliquer le PPI en termes de puissances d’une part au gaz et d’autre part au fluides.
   • Utiliser la seconde loi de Joule.
3. En faisant un bilan d’entropie sur un système fermé bien choisi, exprimer le taux de création d’entropie [latex]\frac{\delta S_C}{dt}[/latex] en fonction de la différence d’entropie massique entre la sortie et l’entrée pour l’eau [latex]s_{2,e}-s_{1,e}[/latex] et de gaz [latex]s_{2,g}-s_{1,g}[/latex] et des débits massiques.
   • Il s’agit de démontrer le second principe de la thermodynamique pour un système ouvert en écoulement stationnaire (démo du cours).
   • Par quoi doit on multiplier l’équation pour faire apparaitre une puissance.
4. En utilisant l’identité thermodynamique sur [latex]H(P,S)[/latex], montrer que [latex]s_{2,e}-s_{1,e}=c\ln\frac{\theta_2}{\theta_1}[/latex] et que [latex]s_{2,g}-s_{1,g}=\frac{\gamma R}{M(\gamma-1)}\ln\frac{T_2}{T_1}[/latex] calculer leur valeur.
   • Écrire l’identité thermodynamique sur [latex]H(P,S)[/latex] puis la seconde loi de Joule.
   • Exprimer la variation d’entropie massique en fonction de la capacité thermique massique et de la température.
   • Pour un gaz parfait, comment la capacité thermique massique à pression constant s’exprime-t-elle en fonction du coefficient de Laplace ?
5. Quel est le signe de [latex]\frac{\delta S_C}{dt}[/latex] ? Est-ce conforme avec le second principe de la thermodynamique ?

2 – Vidange d’une cuve

1. Un agriculteur souhaite vidanger une cuve cubique d’un mètre cube remplie d’eau par un robinet situé en bas. Combien de temps doit-il prévoir ? Des hypothèses raisonnables peuvent être faites, à condition qu’elles soient explicitées.
   • En supposant l’écoulement parfait, stationnaire, incompressible et homogène, établir l’expression de la vitesse au niveau de la vanne.
   • Relier le débit volumique à la vitesse de l’écoulement au niveau de la vanne.
   • Relier le volume d’eau dans la cuve à la hauteur d’eau.
   • Formuler une équation différentielle sur la hauteur ou le volume d’eau puis l’intégrer.
   • L’équation différentielle peut être intégrée entre l’état initial et l’état final par séparation des variables.
   • [latex]2\sqrt(c)[/latex] est une primitive de [latex]\frac{1}{\sqrt(x)}[/latex]
   • Estimer la section de la vanne à partir de la photo.

3 – Fonctionnement d’une hélice

1. En utilisant le théorème de Bernoulli, exprimer la pression [latex]P[/latex] en fonction de [latex]P_a[/latex], [latex]\rho[/latex], [latex]v_1[/latex] et [latex]v[/latex]. Faire de même pour [latex]P'[/latex] en fonction de [latex]P_a[/latex], [latex]\rho[/latex], [latex]v_2[/latex] et [latex]v'[/latex].
2. On note [latex]\vec{F}[/latex] la résultante des forces exercées par l’hélice sur le fluide. Effectuer un bilan d’impulsion\footnote{Impulsion et quantité de mouvement sont synonymes.} dans le volume compris entre [latex]S[/latex] et [latex]S'[/latex] pour exprimer [latex]\vec{F}[/latex] en fonction de [latex]\rho[/latex], [latex]S[/latex], [latex]v_1[/latex] et [latex]v_2[/latex].
   • Quelles sont les trois forces s’appliquant sur le système ?
   • Les 3 forces sont les deux forces de pression et la force [latex]\vec{F}[/latex].
   • Justifier que le débit volumique se conserve. En déduire une relation entre [latex]v[/latex] et [latex]v'[/latex].
3. En effectuant un bilan d’impulsion cette fois-ci sur le volume compris entre [latex]S_1[/latex] et [latex]S_2[/latex], établir l’expression de [latex]\vec{F}[/latex] en fonction de [latex]S[/latex], [latex]\rho[/latex], [latex]v[/latex], [latex]v_1[/latex] et [latex]v_2[/latex].
   • Justifier que la résultante des forces de pression est nulle.
4. En égalisant les expressions obtenues dans les deux questions précédentes, donner une relation simple entre [latex]v[/latex], [latex]v_1[/latex] et [latex]v_2[/latex].
5. En appliquant le théorème de la puissance cinétique à un système fermé bien choisi, déterminer la puissance [latex]\mathcal{P}[/latex] fournie par l’hélice au fluide. Donner le résultat en fonction du débit massique [latex]D_m[/latex], [latex]v_1[/latex] et [latex]v_2[/latex] puis en fonction de [latex]\vec{f}[/latex] et [latex]\vec{v}[/latex].
   • Définir un système fermé à partir du système ouvert délimité par [latex]S_1[/latex] et [latex]S_2[/latex].
6. Commenter le signe de [latex]\mathcal{P}[/latex] et justifier l’allure du tube de courant représenté sur le schéma.
   • Comparer [latex]v_1[/latex] et [latex]v_2[/latex].
   • Justifier que [latex]S_2

4 – Perte de charge dans un élargissement brusque

1. Expliquer pourquoi la pression vaut [latex]P_1[/latex] dans la partie gauche de la zone d’eau morte, au contact de l’élargissement vertical.
   • Écrire la relation de Bernoulli entre la section gauche et l’élargissement.
   • En négligeant les effets de la gravité, comment s’écrit l’équation fondamentale de l’hydrostatique dans la zone d’eau morte.
2. Au moyen d’un bilan de quantité de mouvement sur un système fermé bien choisi, exprimer la chute de pression [latex]P_1-P_2[/latex] entre l’amont et l’aval en fonction de [latex]\mu[/latex], [latex]v_1[/latex] et des sections.
   • Représenter sur un schéma les forces de pression s’exerçant tout autour du système. Sur quelle surface s’exerce la pression [latex]P_1[/latex] ? Sur quelle surface s’exerce la pression [latex]P_2[/latex] ?
3. En déduire le coefficient de perte de charge singulière [latex]\zeta[/latex] défini par [latex]\Delta P_\text{sing}=\zeta \frac{1}{2}\mu v_1^2[/latex].

5 – Les propriétés de l’air sont-elles celles d’un gaz parfait dans les conditions ambiantes ?

1. L’air vérifie-t-il l’équation d’état d’un gaz parfait dans les conditions du tableau ?
   • A l’aide de l’équation d’état des gaz parfaits, relier [latex]P[/latex], [latex]v[/latex], [latex]R[/latex], [latex]T[/latex] et [latex]M[/latex]. Cette relation est-elle vérifiée pour les valeurs du tableau ?
2. Sur le diagramme [latex](P, h)[/latex], les isothermes sont-elles conformes aux propriétés d’un gaz parfait ? Qu’en est-il au voisinage du point [latex]A[/latex] ?
   • Que dit la seconde loi de Joule pour un gaz parfait ? Comment varie l’enthalpie pour une isotherme ?
3. Mesurer la capacité thermique massique à pression constante [latex]c_p[/latex] au voisinage du point [latex]A[/latex]. En déduire le coefficient [latex]\gamma[/latex] en adoptant le modèle du gaz parfait.
   • Au voisinage du point [latex]A[/latex], de combien varie l’enthalpie massique lorsque la température passe de [latex]\SI{0}{°C}[/latex] à [latex]\SI{20}{°C}[/latex] ?
   • On rappelle les relations de Mayer [latex]C_P-C_V=nR[/latex] et [latex]\gamma=\frac{C_P}{C_V}[/latex]. En déduire [latex]C_P[/latex] puis [latex]c_P[/latex] en fonction de [latex]\gamma[/latex].
4. En considérant l’isentropique [latex]s = \SI{4}{kJ.K^{-1}.kg^{-1}}[/latex], tracer une courbe permettant de valider ou d’invalider la relation de Laplace. La courbe pourra être tracer sur Python ou la calculatrice et devra comporter 9 points.
   • Mesurer [latex]P[/latex] et [latex]v[/latex] pour des points le long de l’isentropique.
   • En fonction de quoi doit-on tracer la pression pour obtenir une droite si la relation de Laplace est vérifiée ?
   • Tracer [latex]P[/latex] en fonction de [latex]v^{-\gamma}[/latex].
5. En conclusion, le modèle de gaz parfait pour l’air est-il bien vérifié dans les conditions ambiantes.

6 – Stockage d’un fluide diphasé : le GPL

1. Quelle pression règne-t-il dans le réservoir ? Pour un réservoir de [latex]\SI{50}{L}[/latex], quelle masse de propane est-elle stockée ? Le volume massique du liquide saturant étant égal à [latex]\SI{2e-3}{m^3.kg^{-1}}[/latex], quelle est la capacité maximale du réservoir ?
   • Le propane est en équilibre liquide/gaz. Quelle est la forme des isotherme dans le diagramme ?
   • Lire la volume massique sur la courbe.
2. Le réservoir est éprouvé pour résister à une pression de [latex]\SI{30}{bar}[/latex]. En cas d’incendie ou d’échauffement accidentel, à quelle température y a-t-il risque d’explosion ?
   • Qu’est-ce qui reste constant lorsque le réservoir chauffe ? Sur quelle courbe se déplace-t-on ?
   • La masse de propane et le volume du réservoir restent constants.
   • Que vaut la température lorsque l’isochore concernée rencontre la pression [latex]\SI{30}{bar}[/latex] ?
3. Depuis 2001, les réservoirs GPL sont munis d’une soupape permettant d’évacuer le fluide dès que la pression dépasse [latex]\SI{25}{bar}[/latex]. Expliquer l’intérêt de cette soupape.
4. Entre la sortie du réservoir et les injecteurs du moteur, le GPL circule dans un vapo-détendeur où il subit une détente isenthalpique. Comment évoluent la température et la composition du mélange liquide-vapeur ?

1 – Solubility of calcite

1. Calculate the standard free enthalpy of reaction for the solubilisation of the calcite.
   • Utiliser les enthalpies libres de formation.
2. Deduce the solubility product of the calcite.
   • Qu’est-ce que le produit de solubilité ?
   • Comment la constante d’équilibre est-elle liée à l’enthalpie de réaction.

2 – Réactions simultanées

1. Exprimer, lorsque les deux équilibres chimiques sont atteints, la quantité de matière de chaque participant, en fonction de la quantité de matière initiale en méthane [latex]n_0(\ce{CH4})[/latex] et en eau [latex]n_0(\ce{H2O})[/latex] et de l’avancement [latex]\xi_1[/latex] (respectivement [latex]\xi_2[/latex] ) de la réaction (1) (resp. (2)).
   • Dresser deux tableaux d’avancement.
   • Pour simplifier les justifications, les réactions peuvent être considérées successives (dans cette question uniquement) pour la réalisation des tableaux d’avancement.
2. Exprimer les quotients réactionnels en fonction de la pression totale [latex]p_{tot}[/latex], de la pression standard [latex]p^\circ[/latex], des quantités de matières initiales [latex]n_0(\ce{CH4})[/latex] et [latex]n_0(\ce{H2O})[/latex] et des avancements [latex]\xi_1[/latex] et [latex]\xi_2[/latex].
   • L’activité d’un gaz est égal à sa pression partielle divisé par la pression standard.
   • La pression partielle est la pression du gaz multiplié par la fraction molaire [latex]p_i=p_{tot}\frac{n_i}{n_{tot,gaz}}[/latex]
3. Calculer la pression totale [latex]p_{tot}[/latex] pour laquelle la quantité de matière de dioxyde de carbone à l’équilibre est égale à [latex]\SI{0,5}{mol}[/latex]. Quelle est alors la composition à l’équilibre ? Les résolutions d’équation peuvent être réalisées à l’aide de la calculatrice ou de Python.
   • Utiliser la loi d’action des masses pour les deux réactions.

3 – Les chlorures de phosphore

4 – Dépôt de nickel

1. Calculer l’enthalpie standard de réaction [latex]\Delta_rH^0_1[/latex] et l’entropie standard de réaction [latex]\Delta_rS^0_1[/latex] à [latex]\SI{298}{K}[/latex].
   • Utiliser la loi de Hess
2. En déduire, dans le cadre de l’approximation d’Ellingham, l’expression numérique de l’enthalpie libre standard [latex]\Delta_rG^0_1[/latex] exprimée en [latex]\SI{}{J.mol^{-1}}[/latex], à la température T, exprimée en kelvin.
   • Quelle est la définition de l’enthalpie libre ? En déduire une relation entre [latex]\Delta_rG^\circ[/latex], [latex]\Delta_r H^\circ[/latex], [latex]\Delta_r S^\circ[/latex] et [latex]T[/latex].
3. Montrer que [latex]\alpha[/latex] dépend de la pression totale [latex]p[/latex] à l’équilibre et de la température [latex]T[/latex] à laquelle on travaille ; expliciter la relation entre [latex]\alpha[/latex], [latex]p[/latex] et la constante d’équilibre [latex]K⁰[/latex] de la réaction étudiée.
   • Faire un tableau d’avancement.
   • Écrire la loi d’action des masses à l’équilibre chimique.
   • Quelle relation existe-t-il entre la constante d’équilibre et l’enthalpie libre de réaction ?
   • L’activité d’un gaz est égal à sa pression partielle divisé par la pression standard.
   • La pression partielle est la pression du gaz multiplié par la fraction molaire [latex]p_i=p_{tot}\frac{n_i}{n_{tot,gaz}}[/latex]
4. À quelle température [latex]T_1[/latex], [latex]\alpha = 0,05[/latex] sous la pression totale [latex]p = \SI{1}{bar}[/latex] ? À quelle température [latex]T_2[/latex], [latex]\alpha = 0,95[/latex] sous la pression totale [latex]p = \SI{1}{bar}[/latex] ?

1 – Troposphère

1. Déterminer l’expression de la pression [latex]P[/latex] en fonction de l’altitude [latex]z[/latex], en fonction de la température [latex]T[/latex], de la masse molaire de l’air [latex]M_\text{air}[/latex], de la constante des gaz parfaits [latex]R[/latex] et de l’accélération de la pesanteur [latex]g[/latex]. On note [latex]P_0[/latex] la pression au niveau de la mer.
   • Relier la masse volumique à la pression grâce à l’équation d’état des gaz parfaits.
   • Résoudre l’équation fondamentale de l’hydrostatique.
2. Montrer que [latex]70\%[/latex] de la masse totale de l’air se situe en dessous de [latex]\SI{10}{km}[/latex] dans ce modèle.
   • On considère un cylindre de section [latex]S[/latex] et de hauteur [latex]z[/latex]. Exprimer la masse contenue dans ce cylindre comme une intégrale.
   • On souhaite montrer que la masse contenue dans un cylindre de hauteur [latex]10\text{km}[/latex] est égale à [latex]70\%[/latex] de la masse contenue dans un cylindre de hauteur infinie.
3. Les capacités thermiques molaires de l’air sont [latex]C_V=\frac{5}{2}R[/latex] et [latex]C_P=\frac{7}{2} R[/latex]. Exprimer la valeur du coefficient [latex]\gamma[/latex].
4. Montrer que le produit [latex]T^xP^y[/latex] est constant pour une transformation réversible et adiabatique d’un gaz parfait. Exprimer [latex]x[/latex] et [latex]y[/latex] en fonction de [latex]\gamma[/latex].
   • Utiliser la loi de Laplace et l’équation d’état des gaz parfaits.
5. En déduire la relation reliant [latex]\frac{dP}{P}[/latex] et [latex]\frac{dT}{T}[/latex].
   • Exprimer [latex]T[/latex] en fonction de [latex]P[/latex] et différentier l’expression obtenue.
6. Établir l’expression du gradient de température adiabatique [latex]\frac{dT}{dz}[/latex] en fonction de [latex]\gamma[/latex], [latex]M[/latex], [latex]g[/latex] et [latex]R[/latex].
   • Utiliser la question précédente et l’équation fondamentale de l’hydrostatique.

2 – Lubrification

1. Calculer la valeur numérique de la réaction tangentielle.
   • Calculer la composante normale de la réaction puis utiliser la loi de Coulomb.
   • Projeter le théorème de la résultante cinétique sur l’axe verticale pour relier la réaction normale au poids.
2. Calculer la distance d’arrêt du mobile et faire l’application numérique.
   • Résoudre la projection sur l’axe horizontal du théorème de la résultante cinétique.
   • Quel est le temps d’arrêt, c’est-à-dire le temps auquel la vitesse est nulle.
   • La distance d’arrêt correspond à la position du solide au temps d’arrêt.
3. Donner la valeur de la viscosité dynamique de l’eau.
4. Montrer que [latex]v(x,y)[/latex] est indépendant de [latex]x[/latex].
   • Utiliser un argument d’invariance.
   • Que signifie l’expression de l’énoncé « on néglige les effets de bord » ?
5. On admet que la vitesse s’écrit [latex]v(y)=ay+b[/latex]. Déterminer [latex]a[/latex] et [latex]b[/latex] en exploitant la description du problème.
   • Utiliser la condition d’adhérence en [latex]z=0[/latex] et [latex]z=e[/latex].
6. Donner l’expression de la force surfacique de cisaillement au sein de l’eau.
7. Exprimer la force de frottement à laquelle est soumis la pavé.
   • La force exercée sur le pavé et l’opposé de la force exercée par le pavé sur la couche supérieure de fluide.
8. On admet qu’en l’absence d’action de l’opérateur pour maintenir la vitesse constante, l’expression de la vitesse établie précédemment reste valable, mais avec [latex]a[/latex] fonction du temps. Que devient la distance d’arrêt du palet ?
   • Résoudre la projection sur l’axe horizontal du théorème de la résultante cinétique.
   • La distance d’arrêt peut être définie comme la valeur maximale atteinte par la position.

3 – Distribution d’eau potable

1. Quel est l’ordre de grandeur de la pression [latex]P_e[/latex] qui peut être attendue au pied du château d’eau, en admettant que le débit de l’eau dans la canalisation soit suffisamment faible pour ne pas perturber la pression ?
   • Résoudre l’équation fondamentale de l’hydrostatique pour un fluide incompressible.
2. Soit une conduite de longueur [latex]L = \SI{100}{m}[/latex] et de section [latex]S = \SI{1}{cm^2}[/latex] partant du pied de ce château d’eau. L’autre extrémité est à l’air libre. Quel débit peut-on attendre, en supposant \textit{a priori} l’écoulement laminaire ? Calculer la vitesse débitante [latex]U[/latex].
   • Utiliser la loi de Haggen-Poiseuille.
3. Calculer le nombre de Reynolds pour cet écoulement, et conclure.
4. En tenant compte du diagramme de Moody, dire si la vitesse débitante sera plus ou moins importante que celle calculée plus haut.

4 – Chute d’une bille dans un fluide

1. Déterminer l’équation différentielle vérifiée par [latex]v[/latex] et la résoudre.
   • Quelles sont les 3 forces qui s’exercent sur la bille ?
   • Appliquer le théorème de la résultante cinétique à la bille.
2. On mesure la vitesse [latex]v_{1s}[/latex] une seconde après avoir lâché la bille, sachant que le temps caractéristique du mouvement est [latex]\tau = \SI{6}{ms}[/latex]. On fait cela pour plusieurs billes, de rayons plus petits. La courbe ci jointe montre l’évolution de [latex]v_{1s}[/latex], en fonction du carré [latex]r^2[/latex] du rayon de la sphère. Justifier le positionnement des points expérimentaux. Comment en déduire [latex]\eta[/latex] ?
   • En comparant [latex]t[/latex] et [latex]\tau[/latex], dans quel régime se trouve-t-on ? Quelle est l’expression de la vitesse dans ce régime ?
   • Exprimer la masse de la bille en fonction de [latex]\rho[/latex] et de [latex]r[/latex].
3. Le nombre de Reynolds vaut [latex]Re = 0,1[/latex] pour la plus grosse des sphères. Justifier le modèle.
   • Le nombre de Reynolds croit-il ou décroit-il avec [latex]r[/latex] ?
   • Pour toutes les billes, l’écoulement est-il laminaire ou turbulent ?
4. Que représentent [latex]S[/latex] ? Quelle est l’équation différentielle vérifiée par [latex]v(t)[/latex] ?
   • [latex]S[/latex] n’est PAS la surface de la bille [latex]4\pi r^2[/latex].
   • Appliquer le théorème de la résultante cinétique à la bille.
5. Montrer l’existence d’une vitesse limite [latex]v_l[/latex] et donner son expression.
   • Comme se simplifie l’équation différentielle en régime stationnaire ?
6. Résoudre l’équation différentielle.
   • Procéder par séparation des variable.
   • Quelle est la primitive de [latex]\frac{1}{ax^2+b}[/latex] ?
   • Dériver [latex]\frac{1}{\sqrt{ab}}\arctan\left(\sqrt{\frac{a}{b}}x\right)[/latex].
7. Critiquer le modèle utilisé.
   • Que vaut le nombre de Reynolds à [latex]t=0[/latex].
   • Expliquer pourquoi la modélisation de la force de frottement fluide par [latex]F_{tr} = \frac{1}{2}\mu\nu^2SC_x[/latex] n’est pas pertinente aux premiers instants du mouvements.

5 – Dériveur

1. Si le dériveur se déplaçait par rapport à l’eau à une vitesse de norme [latex]v_e = \SI{20}{km.h^{-1}}[/latex], dans une direction orthogonale à celle du vent, quelles seraient les valeurs des nombres de Reynolds associés aux deux écoulements : air et eau ? Commenter.
   • Pour l’écoulement d’air autour de la voile, quelle vitesse prendre ? Quelle viscosité cinématique ? Quelle distance caractéristique ?
   • Pour l’écoulement d’eau autour de la dérive, quelle vitesse prendre ? Quelle viscosité cinématique ? Quelle distance caractéristique ?
2. La figure ci-dessus montre un schéma très simplifié du dériveur en vue de dessus. A la différence d’un char à voile, dont les roues adhèrent bien au sol, un dériveur ne peut pas se déplacer dans la direction de son axe [latex](Ox)[/latex]. En plus de son mouvement d’avancement selon son axe, il subit un mouvement dit <>. La direction de sa vitesse [latex]\vec{v_{vit}}[/latex] par rapport à l’eau est indiquée sur la figure. En utilisant la portance et la trainée des deux ailes que constituent la voile et la dérive, effectuer un schéma des différentes forces horizontales agissant sur le dériveur. Y a t-il d’autres forces à ajouter ?
   • Représenter la vitesse de l’eau par rapport au dériveur.
   • Les forces de trainée sont colinéaires aux vitesses. Les forces de portance sont orthogonales aux vitesses.
   • En plus des forces horizontales, quelles sont les deux forces à rajouter.
3. En déduire un ordre de grandeur de l’envergure [latex]L_{env, e}[/latex] à choisir pour la dérive.
   • En régime stationnaire, l’accélération est nulle, et donc la somme des forces l’est aussi.
   • Projeter le TRC sur l’axe [latex](Ox)[/latex].

1 – Élaboration d’un ciment

1. Calculer numériquement les quantités de matière en ciment et en eau (notées [latex]n_1[/latex] et [latex]n_2[/latex]) initialement introduites.
   • Calculer la masse molaire de [latex]\ce{Ca3SiO5}[/latex] et de [latex]\ce{H2O}[/latex].
   • Quelle relation lie masse molaire, masse et quantité de matière ?
2. En supposant la réaction totale, indiquer quel est le réactif limitant et calculer les quantités de matière en chacune des espèces présentes en fin d’évolution.
   • Faire un tableau d’avancement.
   • En supposant [latex]\ce{Ca3SiO5}[/latex] réactif limitant, que serait l’avancement ? Même question pour [latex]\ce{H2O}[/latex]. Quel est le réactif limitant ?
   • Que vaut l’avancement final ?
3. Le système constitué par le calorimètre et son contenu sont supposés en évolution adiabatique. Estimer la valeur de l’enthalpie standard de réaction [latex]\Delta_r H^0[/latex] associée à l’équation-bilan [latex](1)[/latex]. On négligera la capacité thermique du calorimètre.
   • On imagine une transformation constitué d’une transformation chimique isotherme suivie d’une élévation de température sans transformation chimique dont les états initiaux et finaux sont les mêmes que la transformation étudiée.
   • Que peut-on dire de la chaleur échangée lors de la transformation étudiée ? En déduire la variation d’enthalpie.
   • Concernant la réaction chimique isotherme : relier la variation d’enthalpie à l’avancement.
   • Concernant l’élévation de température sans réaction chimique : écrire la seconde loi de Joule.
   • Relier les variations d’enthalpie sur les trois transformations.
4. La réaction est-elle exothermique ou endothermique ?

2 – Température de flamme du sulfure de plomb

1. Remplir les deux cases vides du tableau de données.
   • À quelle condition l’enthalpie standard de formation est-elle nulle ?
2. Écrire l’équation-bilan de cette réaction avec un coefficient stœchiométrique algébrique égal à [latex]-1[/latex] pour [latex]\ce{PbS(s)}[/latex].
3. Calculer l’enthalpie standard de réaction [latex]\Delta_rH^0[/latex] à [latex]\SI{298}{K}[/latex] pour la réaction écrite question 2.
   • Utiliser la loi de Hess
4. On part d’un mélange [latex]\ce{PbS(s)}/\ce{O2(g)}[/latex] dans les proportions stœchiométriques, à la température initiale [latex]T_i = \SI{298}{K}[/latex]. La réaction est menée de façon isobare adiabatique, calculer la température de flamme (température finale atteinte).
   • On imagine une transformation constitué d’une transformation chimique isotherme suivie d’une élévation de température sans transformation chimique dont les états initiaux et finaux sont les mêmes que la transformation étudiée.
   • Que peut-on dire de la chaleur échangée lors de la transformation étudiée ? En déduire la variation d’enthalpie.
   • Concernant la réaction chimique isotherme : relier la variation d’enthalpie à l’avancement.
   • Concernant l’élévation de température sans réaction chimique : écrire la seconde loi de Joule.
   • Relier les variations d’enthalpie sur les trois transformations.
5. Reprendre le calcul de la question 4 en supposant que le mélange initial est constitué d’air ([latex]80\%[/latex] de diazote et [latex]20\%[/latex] de dioxygène). La quantité d’air ajoutée est juste suffisante pour provoquer la disparition de la totalité de [latex]\ce{PbS(s)}[/latex].
   • Dans l’air, combien y a-t-il de fois plus de diazote que de dioxygène ?
   • Par rapport à la question précédente, quelles sont les grandeurs qui seront différentes ?

1 – Einstein relation and stability of isothermal atmosphere

1. Using the ideal gas law, ascertain the particule density [latex]n(z)[/latex].
   • Attention à ne pas confondre la quantité de matière et la densité particulaire, toutes deux notées fréquemment [latex]n[/latex].
2. Using Fick law, show that a diffusion phenomenon exists. Express the current density vector [latex]\vec{j}_\text{diff}[/latex].
3. The particules that make air are in motion at microscopic scale. The collisions between particules are modeled with a drag force [latex]\vec{f}=-\frac{m}{\tau}\vec{v}[/latex] that apply on an average particle. Make an inventory of the forces and deduce the limit speed [latex]\vec{v}[/latex] of an average particule. Deduce the current density vector [latex]\vec{j}_\text{mig}[/latex] due to the gravitation.
   • Le modèle proposé ressemble au modèle de Drude. Appliquer la loi de la quantité de mouvement en régime stationnaire.
   • Relier la vitesse au vecteur densité de courant de particules.
4. By making an inventory of the particules on a slice of atmosphere in a stationary state, express a relation between [latex]D[/latex], [latex]\tau[/latex], [latex]k_B[/latex], [latex]T[/latex] and [latex]m[/latex]. This relation is known as Einstein relation.
   • Faire un bilan de particules sur une tranche infinitésimale d’atmosphère. Quatre flux de particules y rentrent : du à la gravitation et du à la diffusion, en [latex]z[/latex] et en [latex]d+dz[/latex].

2 – Taille critique d’une bactérie aérobie

1. Rappeler la loi de Fick reliant le vecteur densité de courant particulaire [latex]\vec{j}=j(r)\vec{u_r}[/latex] à la densité particulaire [latex]n(r)[/latex].
2. Quelle est l’unité de [latex]D[/latex].
3. Établir l’équation de diffusion de particules en coordonnées sphériques.
   • Faire un bilan de particules sur un volume infinitésimal ou sur une boule creuse d’épaisseur infinitésimale.
4. Exprimer le nombre [latex]\phi(r)[/latex] de molécules de \ce{O2} qui traversent par unité de temps une sphère de rayon [latex]r[/latex] ([latex]r>R[/latex]) en fonction de [latex]j(r)[/latex] et de [latex]r[/latex]. Justifier que [latex]\phi[/latex] ne dépend pas du rayon [latex]r[/latex] de la sphère considérée.
5. Déterminer l’expression de la densité particulaire [latex]n(r)[/latex] en \ce{O2} dissous dans l’eau. On exprimera les deux constantes d’intégration en fonction de [latex]D[/latex], [latex]\phi[/latex], [latex]\mathcal{N}_A[/latex] et [latex]c_0[/latex]. En déduire la densité particulaire [latex]n_R[/latex] en surface de la bactérie, en [latex]r=R[/latex].
   • Résoudre l’équation de diffusion en régime stationnaire.
   • Déterminer les constantes en utilisant la densité particulaire à l’infini et le flux particulaire.
6. En étudiant la consommation en \ce{O2} de la bactérie pendant une durée [latex]dt[/latex], exprimer [latex]\phi[/latex] en fonction de [latex]a[/latex], [latex]\mathcal{N}_A[/latex], de la masse volumique [latex]\mu[/latex] de la bactérie et de son rayon [latex]R[/latex].
   • La consommation de [latex]\ce{O2}[/latex] de la bactérie est le flux particulaire d'[latex]\ce{O2}[/latex] arrivant à la bactérie.
7. En déduire l’expression de [latex]n_R[/latex]. Comment varie [latex]n_R[/latex] en fonction de [latex]R[/latex].
8. Quelle inégalité doit vérifier [latex]n_R[/latex] pour que la bactérie ne suffoque pas. En déduire l’expression du rayon critique [latex]R_c[/latex] d’une bactérie aérobie. Effectuer l’application pour [latex]a=\SI{2e-2}{mol.kg^{-1}.s^{-1}}[/latex]. Comparer ce résultat à la dimension caractéristique [latex]R=1[/latex] à [latex]\SI{10}{\mu m}[/latex] d’une bactérie réelle.
   • La densité particulaire ne peut pas être négative.

3 – Désintégration de l’uranium 235

1. En faisant un bilan de neutron sur une volume mésoscopique, démontrer l’équation fondamentale de la neutronique [latex display= »true »]\frac{\partial N}{\partial t}=-\divv\vec{j}+\frac{\nu-1}{\tau}N(x,y,z,t)[/latex]
   • Combien de neutrons sont captés durant [latex]dt[/latex] dans le volume considéré ? Combien sont émis ?
2. On considère une sphère de rayon [latex]R[/latex] d’uranium 235 et on suppose le problème à symétrie sphérique. On recherche une solution de l’équation ci-dessus sous la forme [latex]N(r,t) = \frac{f(t)g(r)}{r}[/latex]. Déterminer les équations vérifiées par [latex]f[/latex] et par [latex]g[/latex].
   • Il faut procéder par séparation des variables.
3. On prend pour condition aux limites [latex]N(r=R)=0[/latex]. Justifier.
4. Quelles sont les différentes formes de solution pour [latex]g(r)[/latex]. Lesquelles décrivent physiquement la réaction en chaine d’une bombe nucléire ? Résoudre l’équation différentielle sur [latex]g(r)[/latex].
   • Distinguer les cas sur le discriminent et utiliser les conditions aux limites pour trouver les constantes.
   • Une solution constamment nulle ne décrit pas une explosion nucléaire.
5. En déduire la solution de l’équation sur [latex]f(t)[/latex].
6. Sous quelle condition sur le rayon la réaction s’emballe-t-elle ?
7. Quelle masse minimale doit donc avoir une bombe nucléaire ?