Catégorie : Mathématiques PC 2021-2022

Programme de colles de la semaine à venir

programme de colles à venir : 06_prog_al_det_tr

Déterminants de Vandermonde.

IV) Traces :

Définition, propriétés. Trace de matrices semblables.

exercice(s) 14, 15, 19, 17, 18

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V) Espaces vectoriels produits :

Définition

exercice(s)16, 22,26

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ch V : Suites de fonctions

I) Définition, convergence simple.

exemples.

exercice(s) 2, 3

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II) Convergence uniforme.

exemples.

Théorème de continuité de la limite.

exercice(s) 4, 5

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semaine du 18/10 : interro de cours n° 1

Document de cours :cours_suites_fonct

Documents distribués :

DS 3 DS3_int_suites

TD : TD_suites_fonct

Programme de colles de la semaine à venir

programme de colles à venir : 05_prog_seriesnum_al

II) Sommes d’un nombre finie de sous-e.v. :

Somme de plusieurs ous-espaces vectoriels. Décomposition en une somme (finie) de plusieurs sous-espaces vectoriels. Base adaptée à une somme directe. Dimension d’une somme directe.
exercice(s) 1, 3

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III) Sous-e.v. stables par une application linéaire, matrices par blocs :

Définition, caractérisation matricielle des sous-ev stables.

exercice(s) 5,2, 7

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Déterminants. Calculs par blocs.

exercice(s) 8, 9, 10, 11, 12

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Matrices semblables, déterminants de matrices semblables.

exercice(s)14, 15 (début)

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à chercher pour lundi 11/10 : exercice 15 (fin)

à chercher pour vendredi 18/10 : DM 3 dm03

Document de cours : cours_ev_al

Documents distribués :

DS 3 DS3_int_suites

TD : TD_EV_AL_21_22

Programme de colles de la semaine à venir

programme de colles à venir : 04_prog_seriesnum

Démonstration du critère spécial des séries alternées. Enoncé de la formule de Stirling. Equivalent de $latex \sum_{k=1}^N \frac1k – \ln N$
exercice(s) 13, 5, 7

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Intégrales de Wallis, formule de Stirling.

Séries géométriques.

exercice(s) 11, 10, 22

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Produits de Cauchy.

exercice(s) 14, 15

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Chapitre IV : Espaces vectoriels, sommes directes, applications linéaires.

Rappels de PCSI : sommes directes, supplémentaires. Exemples.

exercice(s)

à chercher pour lundi 04/10 :exercice 1, chapitre 4

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à chercher pour vendredi 08/10 : dm 2 produits scalaires, polynômes et intégrales dm02

Document de cours : cours_ev_al

Documents distribués :

DS 3 DS3_int_suites

TD : TD_EV_AL_21_22

Programme de colles de la semaine à venir

programme de colles à venir : 03_prog_intgen_evn_seriesnum

Ch II (fin) :

Continuité des fonctions de plusieurs variables. Cas de la dimension finie. Applications lipschitziennes
exercice(s)

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Ch III : Séries numériques
I. Rappels de PCSI

Séries numériques : suite des sommes partielles, convergence d’une série numérique. Somme d’une série convergente. Divergence. Absolue convergence, grossière divergence, exemples.Théorèmes de comparaison (entre séries positives, à une série positive via inégalité, grand 0 ou équivalent).

Séries géométriques.

exercice(s) 1,2

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Séries de Riemann.

II) Propriétés avancées.

Comparaison série-intégrale. Règle de d’Alembert des séries numériques. Série exponentielle.

exercice(s) 8, 17

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Critère spécial des séries alternées.

exercice(s) 7b,

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à rendre vendredi 24/09 :  dm 1 intégrales généralisées.

à chercher pour vendredi 08/10 :  dm 2 produits scalaires, polynômes et intégrales dm02

Document de cours : cours_ser_num

Documents distribués :

TD : TD_ser_num

Programme de colles de la semaine à venir

programme de colles à venir : 02_prog_intgen_evn

Ch I : Intégrales généralisées (suite)

Les espaces CML^1 et C^0L^1(I,\K)

inégalité de Cauchy-Schwarz pour des intégrales généralisées.
exercice(s) 14, 17, 18

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Ch II : Intégrales généralisées (suite)
0. Rappels de PCSI

Produits scalaires, normes. Projection sur un s..e-v. de dimension finie, utilisation de bases orthonormées.

I) Normes en dimension finie.

Normes 1, 2, infinie sur R^n. Normes équivalentes. En dimension finie toutes les normes sont équivalentes. Boules fermées. exemples

exercice(s) 2

A CHERCHER pour mardi 15/09 :  exercice 3

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Boules ouvertes, parties bornées.

II) Limites d’une suite vectorielle.

exercice(s) 3, 11

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III) Continuité.

exercice(s) 12.1, 12.2

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Samedi 18/09/2021 : Devoir surveillé n°2 (durée 2h)

Document de cours :cours_evn_lim_cont

Documents distribués : cours_evn_lim_cont

TD : TD_evn_lim_cont

Programme de colles de la semaine à venir

les colles démarreront la semaine du 13/09 : programme de colles à venir  01_prog_intgen

Ch I : Intégrales généralisées (suite)

Intégrales de Riemann sur [1,+\infty[. Exponentielles décroissantes.

II-2. Intégrale généralisée d’une fonction continue sur un intervalle quelconque

Logarithme sur ]0,1]. Intégrales de Riemann sur ]0,1].

II-3) Intégrales généralisées sur [1,+\infty[.

Définitions. Prolongement par continuité en une borne finie.

exercice(s) 3, 7, 13

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III. Convergence d’intégrales généralisées. Fonctions intégrables

Continuité par morceaux. Définition, notations. Intégrabilité.

exercice(s) 6, 1.1, 1.2

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Propriétés : positivité, croissance, théorèmes de comparaisons. Relation de Chasles. Nullité d’une fonction continue positive d’intégrale nulle.

exercice(s) 2, 11, 9

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Intégrations par parties généralisées. Changement de variable dans une intégrale généralisée convergente.

exercice(s) 15, 14.1

A CHERCHER pour lundi 13/09 : fin exercice 14

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Samedi 11/09/2021 : Devoir surveillé n°1 (durée 2h) : DS1

Document de cours : Cours_int_generalisees_2021_v2

Documents distribués :

TD : TD_int_generalisees_21_22

Programme de colles de la semaine à venir

les colles démarreront la semaine du 14/09

Ch I : Intégrales généralisées

I. Rappels de première année :

intégrales de Riemann d’une fonction continue sur un segment. Théorème fondamental du calcul intégral. Exemples et dessins.

II. Intégrale généralisée d’une fonction continue sur un intervalle de la forme [a,+\infty[

Définition de la convergence, de la divergence. Exemples.

exercice(s)

Document de cours :

Documents distribués :

TD : TD_int_generalisees_21_22