Catégorie : Mathématiques PC 2021-2022

Semaine 18 du 24 au 28/01/2022

Programme de colles de la semaine à venir

programme de colles de la semaine de la rentrée du 31/01/2022 : TD_isom_endsym

Chapitre XI : Isométries, endomorphismes symétriques.
Composée de réflexions planes. Classification des isométries planes.
exercice(s)  3, 12


Endomorphismes symétriques. Ecriture matricielle dans une base orthonormée. Théorème spectral version matrice symétrique réelle, version endomorphisme symétrique.
exercice(s)  15, 7, 8


Les sous-espaces propres d’un endomorphisme symétrique sont deux à deux orthogonaux.

exercice(s)


exercice(s)

Document de cours : cours_isom_endsym

Documents distribués :

TD : TD_isom_endsym

DM10 pour le 03/01 : dm10_matricesspectrales

Semaine 17 du 17 au 22/01/2022

Programme de colles de la semaine à venir

programme de colles de la semaine de la rentrée du 24/01/2022 :  15_prog_DSE_isometries

Chapitre XI : Isométries, endomorphismes symétriques.
Rappels euclidiens : décomposition dans une b.o.n., formules pour les normes et les produits scalaires. Isométrie : définition, exemples.
Propriétés : conservation du produit scalaire, image d’une base orthonormale.


Si F est stable par u isométrie u(F)=F. Cas de l’orthogonal de F. Réflexion, écriture matricielle dans une base adaptée.
exercice(s) 1, 5


Matrices orthogonales. Propriétés. Isométries directes, indirectes. Groupe spécial orthogonal. Ecritures matricielles dans O_2(R).

exercice(s)  9


Isométries du plan : réflexions ou rotations, écritures matricielles dans O_2(R).

exercice(s) 16, 3, 12 ; chercher le 15 pour mardi

Document de cours : cours_isom_endsym

Documents distribués :

TD : TD_isom_endsym

DM9 pour le 25/01 :dm09_DSE

Semaine 16 du 10 au 15/01/2022

Programme de colles de la semaine à venir

programme de colles de la semaine de la rentrée du 17/01/2022 : 14_prog_DSE

Chapitre X : Séries entières
DSE usuels, DSE et équations différentielles
exercice(s) 7 ; chercher le 5 pour jeudi


DSE d’une somme. Fonctions développables en série de Taylor.
exercice(s) 5, 19


Produit de Cauchy

exercice(s) 12, 20, 21, 22

 


DS 5 samedi 15/01/2022

Document de cours : cours_ser_ent

Documents distribués :

TD : TD_serie_ent

DM8 : dm08_probas

Semaine 15 du 03 au 07/01/2022

Programme de colles de la semaine à venir

programme de colles de la semaine de la rentrée du 10/01/2022 : 13_prog_probas_DSE

Chapitre X : Séries entières
Séries entières de la variable complexe. Définition, Rayon de convergence. Lemme d’abel, disque ouvert de convergence. Série entière géométrique, série entière exponentielle. Détermination du rayon de convergence par comparaison (grand O, équivalent, majoration du module), utilisation de la règle de d’Alembert des séries numériques, méthode directe à l’aide de valeurs de convergence ou de divergence via encadrements.
exercice(s) 1a, 1c, 1d, 2, 11, 17


Le rayon de convergence de $\sum na_n z^n$ est celui de $\sum a_n z^n$ .

Séries entières de la variable réelle, intervalle ouvert de convergence. Fonction développable en série entière.

exercice(s) 18, 9, 16


Convergence normale sur les segments de l’ouvert de convergence. Continuité de la somme d’une série entière (de la variable réelle). Intégration terme à terme.

exercice(s) 3, 6a, 20.1 (à finir)

 


Dérivation terme à terme.

exercice(s) 20, 6b, 6c

Document de cours : cours_ser_ent

Documents distribués :

TD : TD_serie_ent

DM8 : dm08_probas

Semaine 14 du 13 au 17/12

Programme de colles de la semaine à venir

programme de colles de la semaine de la rentrée du 03/01/2022 : 12_prog_EDL_probas

Probabilités conditionnelles. Indépendance d’évènements. Système complet dénombrable. Probabilités Totales. Bayes. Probabilités composées.
exercice(s) 1, 2, 3, 7


Continuité croissante, décroissante. Variables aléatoires.

exercice(s) 8, 6, 10, 20


Loi d’une variable aléatoire

exercice(s) 11, 16

 


Lois usuelles.

exercice(s) 16 fin, 5, 9, 18


exercice(s) 24, 15

Document de cours :

Documents distribués : cours_esp_proba_var

DM 8 : pour le lundi 03/01 :

TD : TD_esp_proba_var

Semaine 13 du 06 au 10/12

Programme de colles de la semaine à venir

programme de colles de la semaine du 13/12 : pas de colles : forum

Cauchy-Lipschitz linéaire.
exercice(s) 15, 16, 17, 18


Rappels

exercice(s) 19, 22, 23


Cauchy Lipschitz linéaire d’ordre 2, structure de l’espace (affine) des solutions de a(t)y »+b(t)y’+c(t)y=d(t) lorsque a,b,c,d sont continues et a ne s’annule pas sur I.

exercice(s) 24, 25


Chapitre 9 : Espaces probabilisés, variables aléatoires

Univers, tribus, loi de probabilités. Lois usuelles. Exemples

exercice(s)

Document de cours :

Documents distribués : cours_esp_proba_var

DM 7 : pour le lundi 13/12 : dm07_red_edl

TD : TD_esp_proba_var

Semaine 12 du 29/11 au 03/12

Programme de colles de la semaine à venir

programme de colles de la semaine du 06/12 : 11_prog_reduction_EDL

Exemple de diagonalisation d’endomorphismes qui commutent.

exercice(s)


Chapitre 8 : Systèmes différentiels, équations différentielles.

Rappels de PCSI EDL1, EDL2 à coefficients constants. Systèmes différentiels linéaires à coefficients constants : cas diagonal.

exercice(s) 4, 1, 2


Cas diagonalisable. Ecriture réelle des solutions.

exercice(s) 6, 7


Systèmes différentiels linéaires à coefficientsquelconques : écritures générales.

exercice(s) 9, 14 (début)

Document de cours : cours_ediff_lin

Documents distribués :

DM 6 : pour le lundi 06/12 : dm06

TD : TD_ediff_lin

Samedi 27/11 : Devoir Surveillé IV

Semaine 11 du 22/11 au 27/11

Programme de colles de la semaine à venir

programme de colles de la semaine du 29/11 : 10_prog_reduction

Lien entre multiplicité et dimension de sous-espace propre d’une valeur propre. CNS de diagonalisabilité d’un endomorphisme. CS de diagonalisabilité lorsque le polynôme caractéristique est scindé à racines simples.

exercice(s) 5B, 5C, 6


CNS de diagonalisabilité d’une matrice carrée.

exercice(s) 12, 14, 7


Trigonalisation. Calculs de puissances

exercice(s) 7(fin), 9


Suites récurrrentes linéaires.

exercice(s) 9 fin

Document de cours : cours_reduction

Documents distribués :

DM 6 : pour le lundi 06/12 : dm06

TD : TD_reduction

Samedi 27/11 : Devoir Surveillé IV : DS4_seriefonc_AL

Semaine 10 du 15/11 au 19/11

Programme de colles de la semaine à venir

programme de colles de la semaine du 22/11 : 09_prog_seriesfonc_reduc

exercice(s) 15

Chapitre VI : Réduction

I) Elements propres.

Définitions : droite stable, valeur propre, sous-espace propre.


Polynôme caractéristique.

exercice(s) 1, 3


Toute famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes est libre. La somme de plusieurs sous-espace propres distincts est directe.

exercice(s) 2, 10


II) Diagonalisabilité.

Cas d’un endomorphisme, cas d’une matrice carrée. Interprétation des vecteurs colonnes d’une matrice de passage et des coefficients diagonaux dans la formule P^{-1}MP=D diagonale.

exercice(s) 5A

Document de cours : cours_reduction

Documents distribués :

TD : TD_reduction

Semaine 9 du 08/11 au 12/11

Programme de colles de la semaine à venir

programme de colles à venir : 08_prog_suites_series_fonc

II) Convergence uniforme.

Définition; propriétés : continuité, théorème d’intégration terme à terme sur un segment, théorème de dérivation terme  terme.

Théorème d’intégration terme à terme sur un intervalle quelconque avec hypothèse de domination.

III) Convergence normale.

Définition; lien avec la convergence uniforme ;

exercice(s) 8, 1


 critère de convergence normale via série majorante.

Dérivations successives terme à terme.

exercice(s) 4, 6


férié


exercice(s) 2, 7


semaine du 18/10 : interro de cours n° 1 2021_interro1

Document de cours : cours_ser_fonct

Documents distribués :

DM 5 : à rendre le mardi 16/11/2021dm05

TD :  TD_ser_fonct