Catégorie : Mathématiques PC 2021-2022

Semaine 4 du 20 au 24 septembre 2021

Programme de colles de la semaine à venir

programme de colles à venir : 03_prog_intgen_evn_seriesnum

Ch II (fin) :

Continuité des fonctions de plusieurs variables. Cas de la dimension finie. Applications lipschitziennes
exercice(s)


Ch III : Séries numériques
I. Rappels de PCSI

Séries numériques : suite des sommes partielles, convergence d’une série numérique. Somme d’une série convergente. Divergence. Absolue convergence, grossière divergence, exemples.Théorèmes de comparaison (entre séries positives, à une série positive via inégalité, grand 0 ou équivalent).

Séries géométriques.

exercice(s) 1,2


Séries de Riemann.

II) Propriétés avancées.

Comparaison série-intégrale. Règle de d’Alembert des séries numériques. Série exponentielle.

exercice(s)


Critère spécial des séries alternées.

exercice(s)


à rendre vendredi 24/09 :  dm 1 intégrales généralisées.

à chercher pour vendredi 01/10 :  dm 2 produits scalaires, polynômes et intégrales

Document de cours : cours_ser_num

Documents distribués :

TD : TD_ser_num

Semaine 3 du 13 au 17 septembre 2021

Programme de colles de la semaine à venir

programme de colles à venir : 02_prog_intgen_evn

Ch I : Intégrales généralisées (suite)

Les espaces CML^1 et C^0L^1(I,\K)

inégalité de Cauchy-Schwarz pour des intégrales généralisées.
exercice(s) 14, 17, 18


Ch II : Intégrales généralisées (suite)
0. Rappels de PCSI

Produits scalaires, normes. Projection sur un s..e-v. de dimension finie, utilisation de bases orthonormées.

I) Normes en dimension finie.

Normes 1, 2, infinie sur R^n. Normes équivalentes. En dimension finie toutes les normes sont équivalentes. Boules fermées. exemples

exercice(s) 2

A CHERCHER pour mardi 15/09 :  exercice 3


Boules ouvertes, parties bornées.

II) Limites d’une suite vectorielle.

exercice(s) 3, 11


III) Continuité.

exercice(s) 12.1, 12.2


Samedi 18/09/2021 : Devoir surveillé n°2 (durée 2h)

Document de cours :cours_evn_lim_cont

Documents distribués : cours_evn_lim_cont

TD : TD_evn_lim_cont

Semaine 2 du 06 au 11 septembre 2021

Programme de colles de la semaine à venir

les colles démarreront la semaine du 13/09 : programme de colles à venir  01_prog_intgen

Ch I : Intégrales généralisées (suite)

Intégrales de Riemann sur [1,+\infty[. Exponentielles décroissantes.

II-2. Intégrale généralisée d’une fonction continue sur un intervalle quelconque

Logarithme sur ]0,1]. Intégrales de Riemann sur ]0,1].

II-3) Intégrales généralisées sur [1,+\infty[.

Définitions. Prolongement par continuité en une borne finie.

exercice(s) 3, 7, 13


III. Convergence d’intégrales généralisées. Fonctions intégrables

Continuité par morceaux. Définition, notations. Intégrabilité.

exercice(s) 6, 1.1, 1.2


Propriétés : positivité, croissance, théorèmes de comparaisons. Relation de Chasles. Nullité d’une fonction continue positive d’intégrale nulle.

exercice(s) 2, 11, 9


Intégrations par parties généralisées. Changement de variable dans une intégrale généralisée convergente.

exercice(s) 15, 14.1

A CHERCHER pour lundi 13/09 : fin exercice 14


Samedi 11/09/2021 : Devoir surveillé n°1 (durée 2h) : DS1

Document de cours : Cours_int_generalisees_2021_v2

Documents distribués :

TD : TD_int_generalisees_21_22

Semaine 1 du 2 au 3 septembre 2021

Programme de colles de la semaine à venir

les colles démarreront la semaine du 14/09

Ch I : Intégrales généralisées

I. Rappels de première année :

intégrales de Riemann d’une fonction continue sur un segment. Théorème fondamental du calcul intégral. Exemples et dessins.

II. Intégrale généralisée d’une fonction continue sur un intervalle de la forme [a,+\infty[

Définition de la convergence, de la divergence. Exemples.

exercice(s)

Document de cours :

Documents distribués :

TD : TD_int_generalisees_21_22